Kí hiệu S là tập tất cả số nguyên m sao cho phương trình $3^{x^2+mx+1}=\left(3+mx\right)3^{9x}$ có nghiệm thuộc khoảng (1;9). Số phần tử của S là?

Chọn A

$3^{x^2+mx+1}=\left(3+mx\right)3^{9x}\iff 3^{x^2+mx+1-9x}-\left(3+mx\right)=0\left(1\right)$

Để phương trình có nghiệm $3+mx>0$ (do $3^{x^2+mx+1-9x}>0,\forall x\in ℝ$)

Khi đó, $3+mx>0\iff m>\frac{-3}{x}\iff m>-3(do1<x<9)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=3^{x^2+mx+1-9x}-\left(3+mx\right)$

Đạo hàm: $f\text{'}\left(x\right)=\ln 3.\left(2x+m-9\right)3^{x^2+mx+1-9x}-m$

Đạo hàm cấp 2: $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\ln {\mathrm{3.2.3}}^{x^2+mx+1-9x}+{\left(\ln 3.\left(2x+m-9\right)\right)}^2{3}^{x^2+mx+1-9x}>0$

Do đó f'(x)đồng biến trên R => f'(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm => f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Mặt khác x = 0 là một nghiệm của phương trình (1) nên để phương trình này có nghiệm $x\in \left(1;9\right)$ thì (1) phải có đúng một nghiệm $x\in \left(1;9\right)$

$\Rightarrow f\left(1\right).f\left(9\right)<0\iff \left(3^{m-7}-3-m\right)\left(3^{1+m}-3-9m\right)<0$

Giải ra ta được $m\in \left\{-2;-1;1;\mathrm{....};9\right\}$ có 11 giá trị.