Chứng minh: \(\left( {{n^4} - 14{n^3} + 71{n^2} - 154n + 120} \right)\,\, \vdots \,\,24\).

\(\begin{array}{l}{n^4} - 14{n^3} + 71{n^2} - 154n + 120\\ = \left( {{n^4} - 14{n^3} + 49{n^2}} \right) + 22{n^2} - 154n + 120\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = {n^2}\left( {{n^2} - 14n + 49} \right) + 22n\left( {{n^2} - 7} \right) + 120\\ = {\left( {n\left( {n - 7} \right)} \right)^2} + 10n\left( {n - 7} \right) + 12n\left( {n - 7} \right) + 10.12\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = n\left( {n - 7} \right)\left[ {n\left( {n - 7} \right) + 10} \right] + 12\left[ {n\left( {n - 7} \right) + 10} \right]\\ = \left[ {n\left( {n - 7} \right) + 10} \right].\left[ {n\left( {n - 7} \right) + 12} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{n^2} - 7n + 10} \right)\left( {{n^2} - 7n + 12} \right)\\ = \left( {n - 2} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\\ = \left( {n - 5} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\end{array}\)

Đặt \(B = \left( {n - 5} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\).

Ta có B là tích của 4 số tự nhiên liên tiế .

Trong 4 số liên tiếp luôn có 2 số chẵn, một số chia cho 4, số còn lại chia hết cho 2. Ngoài ra có ít nhất 1 số chia hết cho 3.

Vì vậy B luôn chia hết cho 4.3.2 = 24.