Giải phương trình: (1 + sin²x)cosx + (1 + cos²x)sinx = 1 + sin2x

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

PT \( \Leftrightarrow \cos x + {\sin ^2}x\cos x + \sin x + {\cos ^2}x.\sin x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right) + {\sin ^2}x.\cos x + {\cos ^2}x.\sin x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\)

Đặt t = sinx + cosx = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right),t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow {t^2} = 1 + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2}}}{2} - \frac{1}{2}\)

⇒ Ta có: \(t + \left( {\frac{{{t^2}}}{2} - \frac{1}{2}} \right).t = {t^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^3} - {t^2} + \frac{1}{2}t = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc t = 1

\(t = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \) hoặc \(x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = k2\pi \) hoặc \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z\)

Vậy S = \[\left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ; - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ∆ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài phân giác \(\widehat A\).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, góc A = 60 độ. Tính độ dài phân giác góc A (ảnh 1)

Áp dụng định lí hàm số côsin cho ∆ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cos60^\circ = \sqrt 7 \)

Gọi AH là đường phân giác góc A.

Áp dụng tính chất đường phân giác cho ∆ABC: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{HC}}\)

\(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AB + AC}}{{BH + HC}} = \frac{{2 + 3}}{{BC}} = \frac{5}{{\sqrt 7 }}\)

\( \Rightarrow BH = AB:\frac{5}{{\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{5}\)

\(\cos \widehat B = \frac{{A{C^2} - A{B^2} - B{C^2}}}{{ - 2AB.BC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\)

Xét ∆ABH có: \(A{H^2} = A{B^2} + B{H^2} - 2.AB.BH.cos\widehat B = \frac{{108}}{{25}} \Rightarrow AH = \frac{{6\sqrt 3 }}{5}\).

Câu 2

Cho \(\cos x = \frac{2}{{\sqrt 5 }},0 < x < \frac{\pi }{2}\). Tính các giá trị lượng giác của góc x.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: 0 < x < \(\frac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0}\\{\cos x > 0}\end{array}} \right.\)

+) \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\frac{2}{{\sqrt 5 }}^2} + {\sin ^2}x = 1\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {TM} \right)}\\{\sin x = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

\( + )1 + {\cos ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = \frac{1}{2}(TM)}\\{{\mathop{\rm t}\nolimits} = - \frac{1}{2}(L)}\end{array}} \right.\).

Câu 3