Cho ∆ABC nhọn, đường cao AK.

a. Giải ∆ACK biết \(\widehat C = 30^\circ \), AK = 3 cm.

b. Chứng minh \(AK = \frac{{BC}}{{\cot B + \cot C}}\).

c. Biết BC = 5 cm, \(\widehat B = 68^\circ ,\widehat C = 30^\circ \). Tính diện tích ∆ABC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AK. a. Giải tam giác ACK biết góc C = 30 độ (ảnh 1)

a. Xét ∆ACK vuông tại K, có: \(\sin C = \frac{{AK}}{{AC}} \Leftrightarrow \sin 30^\circ = \frac{3}{{AC}} \Leftrightarrow AC = 6\left( {cm} \right)\)

\(KC = \sqrt {A{C^2} - A{K^2}} = \sqrt {{6^2} - {3^2}} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).

b. Ta có: \(\cot B = \frac{{BK}}{{AK}};\cot C = \frac{{CK}}{{AK}} \Rightarrow \cot B + \cot C = \frac{{BK + CK}}{{AK}}\)

\( \Leftrightarrow \cot B + \cot C = \frac{{BC}}{{AK}} \Leftrightarrow AK = \frac{{BC}}{{\cot B + \cot C}}\) (đpcm).

c. Ta có: \(AK = \frac{{BC}}{{\cot B + \cot C}} \Leftrightarrow AK = \frac{5}{{\cot 68^\circ + \cot 30^\circ }}\)\( \Leftrightarrow AK \approx 2,34\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AK.BC = \frac{1}{2}.2,34.5 = 5,68\left( {c{m^2}} \right)\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ∆ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài phân giác \(\widehat A\).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, góc A = 60 độ. Tính độ dài phân giác góc A (ảnh 1)

Áp dụng định lí hàm số côsin cho ∆ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cos60^\circ = \sqrt 7 \)

Gọi AH là đường phân giác góc A.

Áp dụng tính chất đường phân giác cho ∆ABC: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{HC}}\)

\(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AB + AC}}{{BH + HC}} = \frac{{2 + 3}}{{BC}} = \frac{5}{{\sqrt 7 }}\)

\( \Rightarrow BH = AB:\frac{5}{{\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{5}\)

\(\cos \widehat B = \frac{{A{C^2} - A{B^2} - B{C^2}}}{{ - 2AB.BC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\)

Xét ∆ABH có: \(A{H^2} = A{B^2} + B{H^2} - 2.AB.BH.cos\widehat B = \frac{{108}}{{25}} \Rightarrow AH = \frac{{6\sqrt 3 }}{5}\).

Câu 2

Cho \(\cos x = \frac{2}{{\sqrt 5 }},0 < x < \frac{\pi }{2}\). Tính các giá trị lượng giác của góc x.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: 0 < x < \(\frac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0}\\{\cos x > 0}\end{array}} \right.\)

+) \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\frac{2}{{\sqrt 5 }}^2} + {\sin ^2}x = 1\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {TM} \right)}\\{\sin x = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

\( + )1 + {\cos ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = \frac{1}{2}(TM)}\\{{\mathop{\rm t}\nolimits} = - \frac{1}{2}(L)}\end{array}} \right.\).

Câu 3