Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 12cm, AC = 16cm, vẽ đường cao AH.

a, Chứng minh: ∆HBA ∆ABC.

b, Tính BC.AH.

c, Trong ∆ABC, kẻ phân giác AD (D ∈ BC). Trong ∆ADB kẻ phân giác DE (E ∈ AB). Trong ∆ADC kẻ phân giác DF (F ∈ AC). Chứng minh: \(\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{FC}}{{FA}} = 1\) .

a. Xét ∆HBA và ∆ABC:

\(\widehat B\) chung;

b. Áp dụng định lý Pytago vào ∆ABC vuông tại A

\( \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = \sqrt {400} = 20\left( {cm} \right)\)

∆HBA ∆ABC \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow \frac{{12}}{{AH}} = \frac{{20}}{{12}} \Rightarrow AH = \frac{{36}}{5}\left( {cm} \right)\)

c. DE là đường phân giác \(\widehat {ADB} \Rightarrow \frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{DA}}{{DB}}\left( 1 \right)\)

DF là đường phân giác \(\widehat {ADC} \Rightarrow \frac{{FC}}{{FA}} = \frac{{DC}}{{DA}}\left( 2 \right)\)

AD là đường phân giác \(\widehat {ABC} \Rightarrow \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}}\left( 3 \right)\)

(1), (2), (3) \( \Rightarrow \frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{FC}}{{FA}}.\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{DA}}{{DB}}.\frac{{DC}}{{DA}}.\frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{FC}}{{FA}}.\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{AC}}{{AB}} = 1\).