Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HE, HF vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: \(\frac{{EB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HE, HF vuông góc với AB, AC (ảnh 1)

HF // AB \( \Rightarrow \frac{{HF}}{{AB}} = \frac{{CF}}{{CA}} \Rightarrow \frac{{HF}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{HF}}{{CF}}.\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} \Rightarrow \frac{{HF}}{{CF}}.\frac{{BH.BC}}{{CH.BC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\)(1)

Ta có: HF // AB \( \Rightarrow \widehat {CHF} = \widehat {CBA}\)

Xét ∆BEH và ∆HFC: Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {BEH} = \widehat {HFC} = 90^\circ }\\{\widehat {CHF} = \widehat {CBA}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta BEH \sim \Delta HFC(g.g) \Rightarrow \frac{{BE}}{{BH}} = \frac{{HF}}{{HC}} \Rightarrow BE.HC = HF.BH \Rightarrow BE = \frac{{HF.BH}}{{HC}}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{BE}}{{CF}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\).

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ∆ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài phân giác \(\widehat A\).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, góc A = 60 độ. Tính độ dài phân giác góc A (ảnh 1)

Áp dụng định lí hàm số côsin cho ∆ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cos60^\circ = \sqrt 7 \)

Gọi AH là đường phân giác góc A.

Áp dụng tính chất đường phân giác cho ∆ABC: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{HC}}\)

\(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AB + AC}}{{BH + HC}} = \frac{{2 + 3}}{{BC}} = \frac{5}{{\sqrt 7 }}\)

\( \Rightarrow BH = AB:\frac{5}{{\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{5}\)

\(\cos \widehat B = \frac{{A{C^2} - A{B^2} - B{C^2}}}{{ - 2AB.BC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\)

Xét ∆ABH có: \(A{H^2} = A{B^2} + B{H^2} - 2.AB.BH.cos\widehat B = \frac{{108}}{{25}} \Rightarrow AH = \frac{{6\sqrt 3 }}{5}\).

Câu 2

Cho ∆ABC có \(\frac{5}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{3}{{\sin C}}\) và a = 10. Tính chu vi tam giác.

Xem đáp án

Lời giải

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\)

\(\frac{{\sin A}}{{\sin B}} = \frac{a}{b} = \frac{5}{4}\), b = 8

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

\(\frac{{\sin A}}{{\sin C}} = \frac{a}{c} = \frac{5}{3}\), c = 6

Chu vi là: 8 + 6 + 10 = 24.

Câu 3