Cho ∆ABC nhọn, 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I. Gọi E và F là trung điểm của IB và IC.

a. Chứng minh tứ giác MNEF là hình bình hành.

b. BC cắt NE và MF tại H và K. Chứng minh \(CM.HK = \frac{{BC}}{2}\).

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a. Xét ∆ABC ta có: AN = NB; AM = MC (gt)

Nên MN là đường trung bình của ∆ABC ⇒ MN // BC (1), MN = \(\frac{1}{2}BC\)(2)

Xét ∆BCI, ta có: BE = EI (gt), CI = IF (gt)

Nên EF là đường trung bình của ∆BIC ⇒ EF // BC (3), EF = \(\frac{1}{2}BC\)(4)

Từ (1) và (3) ⇒ MN // EF (5)

Từ (2) và (4) ⇒ MN = EF (6)

Từ (5) và (6) ⇒ MNEF là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết 3)

b. Xét tứ giác EFHK, ta có:

EF // HK (Vì H, K ∈ BC, mà BC // EF)

EH // FK (Vì H ∈ NE, K ∈ MF, mà NE // MF)

Do đó, tứ giác EFKH là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết 1) ⇒ EF = HK (7)

Mà EF = \(\frac{1}{2}BC\) (theo (4)) (8)

Từ (7) và (8) ⇒ HK = \(\frac{1}{2}BC\).

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, góc A = 60 độ. Tính độ dài phân giác góc A (ảnh 1)

Áp dụng định lí hàm số côsin cho ∆ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cos60^\circ = \sqrt 7 \)

Gọi AH là đường phân giác góc A.

Áp dụng tính chất đường phân giác cho ∆ABC: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{HC}}\)

\(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AB + AC}}{{BH + HC}} = \frac{{2 + 3}}{{BC}} = \frac{5}{{\sqrt 7 }}\)

\( \Rightarrow BH = AB:\frac{5}{{\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{5}\)

\(\cos \widehat B = \frac{{A{C^2} - A{B^2} - B{C^2}}}{{ - 2AB.BC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\)

Xét ∆ABH có: \(A{H^2} = A{B^2} + B{H^2} - 2.AB.BH.cos\widehat B = \frac{{108}}{{25}} \Rightarrow AH = \frac{{6\sqrt 3 }}{5}\).

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\)

\(\frac{{\sin A}}{{\sin B}} = \frac{a}{b} = \frac{5}{4}\), b = 8

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

\(\frac{{\sin A}}{{\sin C}} = \frac{a}{c} = \frac{5}{3}\), c = 6

Chu vi là: 8 + 6 + 10 = 24.

Câu 3