Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có AB = 1, AC = 2, $\widehat{BAC}={60}^{\circ }$. Điểm S thay đổi thuộc đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), (S khác A). Gọi B₁, C₁ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Đường kính MN thay đổi của mặt cầu (T) ngoại tiếp khối đa diện ABCB₁C₁ và I là điểm cách tâm mặt cầu (T) một khoảng bằng ba lần bán kính. Tính giá trị nhỏ nhất của IM + IN.

Chọn C

Ta có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A=3\Rightarrow BC=\sqrt{3}$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: $R=\frac{BC}{2\sin A}=1$.

Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A' là điểm đối xứng của A qua J.

Ta dễ dàng chứng minh được: $AC\perp A^{\text{'}}C,AB\perp A^{\text{'}}B,A{B}_1\perp A^{\text{'}}{B}_1,A{C}_1\perp A^{\text{'}}{C}_1\Rightarrow A,B,C,A_1,B_1$ đều thuộc mặt cầu tâm J, đường kính $A{A}^{\text{'}}=2R=2=MN$.

Đặt $IM=x,IN=y;x,y\in \left[2;4\right]$.

+ Nếu I, J, M, N thẳng hàng thì $\left[\begin{array}{l}x=2,y=4\\ x=4,y=2\end{array}\right.\Rightarrow x^2+y^2=20$.

+ Nếu I, J, M, N không thẳng hàng thì

$I{J}^2=\frac{x^2+y^2}{2}-\frac{M{N}^2}{4}\iff x^2+y^2=2\left(I{J}^2+\frac{M{N}^2}{4}\right)=2\left(9+1\right)=20$.

Vậy, ta luôn có: $x^2+y^2=20$.

Do $x,y\in \left[2;4\right]\Rightarrow \left(x-2\right)\left(y-2\right)\ge 0\iff xy\ge 2\left(x+y\right)-4$.

$x^2+y^2=20\iff {\left(x+y\right)}^2-20=2xy\ge 4\left(x+y\right)-8\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2-4\left(x+y\right)-12\ge 0\iff x+y\ge 6$.

Vậy $\min \left(x+y\right)=6\iff \left[\begin{array}{l}x=2\Rightarrow y=4\\ y=2\Rightarrow x=4\end{array}\right.$.