Câu hỏi:

12/07/2024 23,237

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.

a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.

b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\).

c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).

d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Media VietJack

a. Ta có: \(\widehat {AKB} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kinh AB)

Tứ giác IEKB có: \(\widehat {AKB} = 90^\circ = \widehat {EKB};\widehat {EIB} = 90^\circ \)

Có tổng 2 góc đối \(\widehat {EKB} + \widehat {EIB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Tứ giác IEKB nội tiếp đường tròn đường kính EB

b. Xét ∆AME và ∆AKM: \(\widehat {MAE}\) chung; \(\widehat {AME} = \widehat {AKM}\) (góc nội tiếp cùng chắn 2 cung AM = AN)

∆AME  ∆AKM(g.g)

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AK}} = \frac{{AE}}{{AM}}\) (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) \( \Rightarrow A{M^2} = AE.AK\)

c. Áp dụng hệ thức lượng vào ∆ANB vuông tại N, đường cao NI AB ta có:

\(BI.BA = N{B^2}\)

Và ta có \(AE.AK = A{M^2} = A{N^2}\) (chứng minh câu b và AM = AN, tính chất đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow AE.AK + BI.BA = A{N^2} + N{B^2} = A{B^2}\) (áp dụng Pytago vào ∆ANB)

   \( = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\).

Vậy \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).

d. ∆MIO vuông tại I, áp dụng định lí Pytago ta có: \(O{I^2} + M{I^2} = O{M^2} = {R^2}\)

Ta có: \({\left( {MI - IO} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 2M{I^2} + 2I{O^2} \ge M{I^2} + I{O^2} + 2MI.IO = {\left( {MI + IO} \right)^2}\)

\( \Rightarrow MI + IO \le \sqrt {2\left( {M{I^2} + I{O^2}} \right)} = R\sqrt 2 \)

Chu vi tam giác MIO là P = MI + IO + MO ≤ \(R\sqrt 2 + R\).

Chu vi P đạt giá trị lớn nhất bằng \(R\sqrt 2 + R\) khi MI + IO = \(R\sqrt 2 \) hay MI = IO = \(\frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy điểm I nằm trên AO sao cho IO = \(\frac{{R\sqrt 2 }}{2}\) thì chu vi ∆MIO đạt GTLN.

Bình luận


Bình luận

Thuy Duong
00:49 - 03/05/2025

tại sao cung AM lại bằng cung AN ạ?

07.Nguyễn Phương Chi 6G
21:04 - 08/05/2025

Vì MN là dây cung và nối với A là đường kính nên độ dài cung AM = cung AN và AM cux = AN

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải:

Media VietJack

a) ABCD là hình thang cân 

\( \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {ADC} \Leftrightarrow \widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)

\(\Delta ODC,\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)

ΔODC cân tại O OC = OD

Mà AD = BC (ABCD là hình thang cân) OA = OB ΔOAB cân tại O

b) ABCD là hình thang cân

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {ABC}\)

Xét ∆BAD và ∆ABC: BA chung; AD = BC; \(\widehat {BAD} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta BAD = \Delta ABC\)

c) ∆BAD = ∆ABC \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

Mà \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD} \Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{C_2}}\)

ΔDEC cân tại E

d) EC = ED

Mà AC = BD (ABCD là hình thang cân)

EA = EB

Lại có OA = OB

OE là đường trung trực AB

OD = OC; EC = ED

OE là đường trung trực CD.

Lời giải

Lời giải:

Media VietJack

Theo hệ quả của định lí côsin ta có:

\[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{8^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.8.5}} = \frac{1}{2}\]

 \( \Rightarrow \widehat A = 60^\circ \).

Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}.8.5.\sin 60^\circ = 10\sqrt 3 \).

Vì \(S = \frac{1}{2}a{h_a}\) nên \({h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{7} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}\)

Lại có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7.8.5}}{{4.10\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay