Cho ∆ABC biết b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}\). Tính S, R, r.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \)

Ta có: \(0^\circ < \widehat A < 180^\circ \Rightarrow \sin A > 0\)

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}}  = \frac{4}{5}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

+) \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14\)

Ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{2.\frac{4}{5}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

+) \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{4\sqrt 2  + 7 + 5}}{2} = 6 + 2\sqrt 2 \)

\(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{14.\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {6 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{28\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}{{28}} = 3 - \sqrt 2 \)

Vậy S = 14; \(R = \frac{{5\sqrt 2 }}{2};r = 3 - \sqrt 2 \).