Câu hỏi:
13/07/2024 1,712
Tìm nghiệm x thuộc [0; 2π] của phương trình \(5\left( {\sin x + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = \cos 2x + 3\).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
ĐK: 1 + 2sin2x ≠ 0 (*)
Ta có \(5\left( {\sin x + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = \cos 2x + 3\).
\( \Leftrightarrow 5\left[ {\frac{{\sin x\left( {1 + 2\sin 2x} \right) + \cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right] = \cos 2x + 3\)
Þ 5.(sinx + 2sinx.sin2x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
⇔ 5.(sinx + cosx – cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
⇔ 5.(sinx + sin3x + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
⇔ 5.(2sin2x.cosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
⇔ 5cosx.(2sin2x + 1) – (cos2x + 3)(1 + 2sin2x) = 0
⇔ (2sin2x + 1)(5cosx – cos2x – 3) = 0
⇔ (2sin2x + 1)(5cosx – 2cos2x + 1 – 3) = 0
⇔ (2sin2x + 1)(–2cos2x + 5cosx – 2) = 0
Û –2cos2x + 5cosx – 2 = 0 (do 2sin2x + 1 ≠ 0)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 2\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
So với điều kiện (*), nhận \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
• Vì x thuộc [0; 2π] nên \(0 \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le 2\pi \).
\( \Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{5\pi }}{3}\)
\( \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{6}\)
Mà k ∈ ℤ nên k = 0
Khi đó \(x = \frac{\pi }{3}\).
• Vì x thuộc [0; 2π] nên \(0 \le - \frac{\pi }{3} + k2\pi \le 2\pi \).
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{7\pi }}{3}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6}\)
Mà k ∈ ℤ nên k = 1
Khi đó \(x = \frac{{5\pi }}{3}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai tập hợp X = (0; 3] và Y = (a; 4). Tìm tất cả các giá trị của a ≤ 4 để X ∩ Y ≠ ∅.
Xem đáp án »
17/05/2023
14,816
Câu 2:
Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và y = 3x + m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
Xem đáp án »
13/07/2024
6,550
Câu 3:
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,159
Câu 4:
Cho tam giác ABC. Hãy tìm các điểm M thỏa các điều kiện:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \).
d) \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right|\).
Cho tam giác ABC. Hãy tìm các điểm M thỏa các điều kiện:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \).
d) \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right|\).
Xem đáp án »
11/07/2024
4,468
Câu 5:
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), AH = 4 cm.
c) AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).
d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại một điểm.
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), AH = 4 cm.
c) AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).
d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại một điểm.
Xem đáp án »
13/07/2024
3,707
Câu 6:
Cho tam giác ABC, hai điểm M, N được xác định bởi \(3\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\); \(\overrightarrow {NB} - 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\). Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,595
Câu 7:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7(x2 + xy + y2) = 39(x + y).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,297
về câu hỏi!