Tìm nghiệm x thuộc [0; 2π] của phương trình \(5\left( {\sin x + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = \cos 2x + 3\).

Lời giải

ĐK: 1 + 2sin2x ≠ 0   (*)

Ta có \(5\left( {\sin x + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = \cos 2x + 3\).

\( \Leftrightarrow 5\left[ {\frac{{\sin x\left( {1 + 2\sin 2x} \right) + \cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right] = \cos 2x + 3\)

Þ 5.(sinx + 2sinx.sin2x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

⇔ 5.(sinx + cosx – cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

⇔ 5.(sinx + sin3x + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

⇔ 5.(2sin2x.cosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

⇔ 5cosx.(2sin2x + 1) – (cos2x + 3)(1 + 2sin2x) = 0

⇔ (2sin2x + 1)(5cosx – cos2x – 3) = 0

⇔ (2sin2x + 1)(5cosx – 2cos²x + 1 – 3) = 0

⇔ (2sin2x + 1)(–2cos²x + 5cosx – 2) = 0

Û –2cos²x + 5cosx – 2 = 0 (do 2sin2x + 1 ≠ 0)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 2\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

So với điều kiện (*), nhận \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

• Vì x thuộc [0; 2π] nên \(0 \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le 2\pi \).

\( \Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{5\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{6}\)

Mà k ∈ ℤ nên k = 0

Khi đó \(x = \frac{\pi }{3}\).

• Vì x thuộc [0; 2π] nên \(0 \le - \frac{\pi }{3} + k2\pi \le 2\pi \).

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{7\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6}\)

Mà k ∈ ℤ nên k = 1

Khi đó \(x = \frac{{5\pi }}{3}\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\).