Cho tam giác ABC, hai điểm M, N được xác định bởi \(3\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\); \(\overrightarrow {NB} - 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\). Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC.

Lời giải

Ta có \(3\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} + 3\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {GB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} + 3\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} + 2\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {CB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} = 2\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {BC} \)    (1)

Lại có \(\overrightarrow {NB} - 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GB} - 3\left( {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GC} } \right) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {CG} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {CB} + 2\overrightarrow {CG} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NG} = \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {GC} \)    (2)

Từ (1), (2), suy ra \(7\overrightarrow {MG} = - 2\overrightarrow {NG} \).

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {GM} = - 2\overrightarrow {GN} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{{ - 2}}{7}\overrightarrow {GN} \).

Suy ra \(\overrightarrow {GM} ,\,\,\overrightarrow {GN} \) cùng phương.

Vậy ba điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC.