Cho đường tròn tâm O, dây AB = 24 cm, dây AC = 20 cm (\[\widehat {BAC} < 90^\circ \] và điểm O nằm trong góc BAC). Gọi M là trung điểm AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm. Tính bán kính đường tròn.

Lời giải:

Kẻ MH ⊥ AB tại H.

Khi đó AM = 10 cm, MH = 8 cm.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác AMH vuông tại H, ta có:

AM² = MH² + AH²

\[ \Rightarrow \] 10² = 8² + AH²

\[ \Rightarrow \] AH² = 36

\[ \Rightarrow \] AH = 6 (cm)

Kẻ CK ⊥ AB tại K

Ta có: MH // CK (cùng vuông góc với AB), M là trung điểm AC, suy ra H là trung điểm AK

Do đó AK = 2AH = 12 cm = \[\frac{1}{2}\]AB.

Như vậy, CK vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của tam giác ABC, cho nên ΔABC cân tại C.

Do đó, điểm O nằm trên CK.

Lại có MH là đường trung bình của tam giác ACK, suy ra CK = 2MH = 16 cm.

Xét ΔCMO và ΔCKA có:

\[\widehat C\] chung

\[\widehat {CMO} = \widehat {CKA} = 90^\circ \]

Suy ra: ΔCMO ᔕ ΔCKA (g.g).

\[ \Rightarrow \frac{{CM}}{{CK}} = \frac{{CO}}{{CA}} \Rightarrow \frac{{10}}{{16}} = \frac{R}{{20}}\]

Suy ra: R = 12,5 cm

Vậy R = 12,5 cm