Tìm tất cả các số nguyên dương n đề A = 2⁹ + 2¹³ + 2ⁿ  là số chính phương.

Lời giải:

Xét n > 9 \( \Rightarrow \)  A = 2⁹ + 2¹³ + 2ⁿ  =  2⁹(1 + 2⁴ + 2^2n-9).

Thấy (1 + 2⁴ + 2^2n-9) là số lẻ nên A chia hết cho 2⁹ nhưng không chia cho 2¹⁰ nên A không là số chính phương

• Xét n = 9, ta có:

A  = 2⁹ + 2¹³ + 2⁹ = 2⁹(1 + 2⁴ + 1) = 9. 2¹⁰ = 9⁶² là số chính phương.

• Xét n < 9, ta có:

A = 2⁹ + 2¹³ + 2ⁿ  = 2n(2^9-n + 2^13-n + 1)

Do 2^9-n  + 2^13-n + 1  là số lẻ và A là số chính phương nên 2ⁿ là số chính phương nên n là số chẵn, n ∈ ℕ* suy ra n ∈ {2; 4; 6; 8}

Khi đó A chính phương, 2ⁿ chính phương suy ra B = 2^9-n + 2^13-n + 1 là số chính phương Nhận xét số chính phương lẻ chỉ có thể tận cùng là 1; 5; 9.

• Với n = 2 \( \Rightarrow \) B = 2⁷ + 2¹¹ + 1 = 2177 (loại)

• Với n = 4 \( \Rightarrow \) B = 2⁵ + 2⁹ + 1 = 545, thấy B chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên B không là số chính phương.

• Với n = 6 \( \Rightarrow \) B = 2³ + 2⁷ + 1 = 137 (loại)

• Với n = 8 \( \Rightarrow \) B =2 + 2⁵ + 1 = 35 (loại)

Vậy n = 9