Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và CD.

a) CMR: \(\widehat {AMN} = 90^\circ \). Từ đó suy ra bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.

b) So sánh AN và MD.

a)

Kẻ NH vuông góc với DO

Ta có ABCD là hình vuông ⇒ AC vuông góc với BD

Mà N là trung điểm của DC, NH vuông góc với DO

⇒ NH \({\rm{//}}\) OC

Do đó, NH là đường trung bình

Mà M là trung điểm OB (gt)

Suy ra H là trung điểm OD

\(NH = \frac{1}{2}OC = OM\)

Suy ra HM = OA

Xét tam giác OMA và tam giác HNM có:

\(\widehat H = \widehat O = 90^\circ \)

NH = MO

HM = OA

Do đó tam giác OMA và tam giác HNM bằng nhau

\( \Rightarrow \widehat {OAM} = \widehat {HMN}\)

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AMO} + \widehat {HMN} = \widehat {AMO} + \widehat {OAM} = 90^\circ \) (đcpcm).

Gọi I là trung điểm của AN

Tam giác AMN vuông tại M ⇒ \(MI = \frac{1}{2}AN = AI\)

Tam giác ADN vuông tại D ⇒ \(DI = \frac{1}{2}AN = AI\)

Suy ra IA = IM = IN = ID

Do đó, 4 điểm A, M, N, D cùng thuộc đường tròn tâm I.

b)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMND

Có AN là đường kính và DM là dây nên AN > DM.