Cho đường tròn tâm O đường kính AB, bán kính R. Từ điểm C trên tia đối của tia BA kẻ 1 cát tuyến cắt đường tròn ở E và D (E nằm giữa D và C) biết góc \(\widehat {DOE}\) = 90° và OC = 3R.

a) Tính độ dài CD, CE theo R.

b) Chứng minh CE.CD = CA.CB.

a) Tam giác DOE vuông tại O có OD = OE = R

Do đó: DE = \(\sqrt {O{D^2} + O{E^2}} \)= \(R\sqrt 2 \)

Xét tam giác EBC và tam giác DAC có:

\(\widehat C\)chung

\(\widehat {CEB} = \,\widehat {CAD} = \,\left( {180^\circ - \,\widehat {DEB}} \right)\)

Suy ra: ∆CEB ᔕ ∆CAD (g.g)

⇒ \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{CE}}{{CA}}\, \Rightarrow \,CD = \frac{{AC\,.\,BC}}{{CE}}\)

\( \Rightarrow CD = \frac{{\left( {OA + OC} \right)\,.\,\left( {OC - OB} \right)}}{{DC - DE}} = \,\frac{{8{R^2}}}{{DC - R\sqrt 2 }}\)

Suy ra: DC² – DC. \(R\sqrt 2 \)– 8R² = 0

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}CD = \frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\\CD = \frac{{R\left( { - \sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\end{array} \right.\)

Vì CD > 0 nên CD = \(\frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\)

CE = DC – DE = \(\frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2} - R\sqrt 2 \,\,\, = \,\,\,\frac{{R\left( {\sqrt {34} - \sqrt 2 } \right)}}{2}\)

b) Theo phần a ở trên ta có:

∆CEB ᔕ ∆CAD (g.g)

⇒ \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{CE}}{{CA}}\, \Rightarrow \,CD\,.\,CE = AC\,.\,BC\).