Câu hỏi:
14/06/2023 320Cho a, b, c ∈ \[\mathbb{Q}\]; a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng \[\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c - a)}^2}}}\] bằng bình phương của một số hữu tỉ.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đặt x = a – b; y = b – c; z = c – a thì x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0
Ta có \[\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c - a)}^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\]
= \[{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\,\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)\]
= \[{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\,\frac{{x + y + z}}{{xyz}}\]
= \[{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2}\]
= \[{\left( {\frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{c - a}}} \right)^2}\] là bình phương của một số hữu tỉ
Vậy \[\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c - a)}^2}}}\] bằng bình phương của một số hữu tỉ.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
12 người làm xong một công việc trong 4 ngày. Hỏi 16 người làm xong công việc đó trong bao nhiêu ngày? (Biết rằng mức làm của mỗi người như nhau).
Câu 2:
Câu 3:
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thảo mãn 3x2 + 3xy – 17 = 7x – 2y.
Câu 4:
Mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 8 m và diện tích bằng 120 m2. Tính chu vi hình chữ nhật đó.
Câu 5:
Số học sinh các lớp 7A, 7B, 7C, 7D lần lượt tỉ lệ với các số 11; 12; 13; 14. Biết hai lần số học sinh lớp 7B nhiều hơn số học sinh lớp 7A là 39 em. Tính số học sinh mỗi lớp.
Câu 7:
về câu hỏi!