\[A = \frac{{100 - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{{99}}{{100}}} \right)}}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{{99}}{{100}}}}\]

Xét các mẫu số của dãy phân số: \[\frac{1}{1};\frac{1}{2};...;\frac{1}{{100}}\]

Ta có dãy số: 1; 2;...; 100

Dãy số trên có số hạng là: (100 – 1) : 1 + 1 = 100 (số)

Tách 100 thành tổng 100 số 1 rồi nhóm lần lượt với từng phân số thuộc dãy phân số trên khi đó ta có:

\[A = \frac{{100 - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{{99}}{{100}}} \right)}}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{{99}}{{100}}}}\]

\[A = \frac{{(1 - 1) + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) + ... + \left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)}}{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}... + \frac{{99}}{{100}}}}\]

\[A = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}... + \frac{{99}}{{100}}}}{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}... + \frac{{99}}{{100}}}}\]

\[A = 1\]

Vậy A = 1