Một nhà trẻ chuẩn bị gạo cho 120 em bé ăn trong 60 ngày. Nhưng sau 20 ngày có một số em đến thêm, nên số gạo còn lại chỉ đủ ăn trong 30 ngày. Hỏi có bao nhiêu em mới đến thêm? Biết suất ăn của các em được quy định bằng nhau.

a) Ta có MN ^ CE (gt); AB ^ CE (gt)

Þ MN // AB

Mà AB // CD (ABCD là hình bình hành) nên MN // CD

Tứ giác MNCD có MN // CD

Và MD // CN (AD // BC, M Î AD, N Î BC)

Do đó tứ giác MNCD là hình bình hành.

b) Gọi F là giao điểm của MN và EC

Hình thang AECD (EC // CD) có MF // AE // CD

Và M là trung điểm của AD (gt)

Þ F là trung điểm của EC.

ΔMEC có MF là đường trung tuyến (F là trung điểm của EC)

Và MF là đường cao (MF ^ EC)

Þ ΔMEC cân tại M.

c) Ta có AD = 2AB (gt)

AD = 2MD (M là trung điểm của AD)

Và AB = CD (ABCD là hình bình hành) Þ MD = CD

Hình bình hành MNCD có MD = CD nên là hình thoi.

Þ CM là đường phân giác \(\widehat {EMF} = \widehat {CMF}\)

Mà \(\widehat {EMF} = \widehat {AEM}\) (hai góc so le trong và AE // MF)

Và \(\widehat {CMF} = \widehat {MCD}\) (hai góc so le trong và MF // CD)

Nên \(\widehat {AEM} = \widehat {MCD}\).

Ta có \(\widehat {AEM} = \widehat {MCD};\;2\widehat {MCD} = \widehat {NCD}\) (CM là tia phân giác của \(\widehat {NCD}\))

Và \(\widehat {NCD} = \widehat {BAD}\) (ABCD là hình bình hành) 

\( \Rightarrow 2\widehat {AEM} = \widehat {BAD}\).