Cho x > y > z. Chứng minh rằng biểu thức:

A = x⁴(y − z) + y⁴(z − x) + z⁴(x − y) luôn luôn dương

Ta có:

A = x⁴(y − z) + y⁴(z − x) + z⁴(x − y)

= x⁴y − x⁴z + y⁴z − y⁴x + z⁴x − z⁴y

= xy(x³ − y³) − z(x⁴ − y⁴) + z⁴(x − y)

= xy(x − y)(x² + xy + y²) − z(x − y)(x + y)(x² + y²) + z⁴(x − y)

= (x − y)[xy(x² + xy + y²) − z(x + y)(x² + y²) + z⁴]

= (x − y)(x³y + x²y² + xy³ − x³z − x²yz − xy²z − y³z + z⁴)

= (x − y)[x²y(x − z) + xy²(x − z) + y³(x − z) − z(x³ − z³)]

= (x − y)(x − z)[x²y + xy² + y³ − z(x² + xz + z²)]

= (x − y)(x − z)(x²y + xy² + y³ − zx² − xz² − z³)

= (x − y)(x − z)[x²(y − z) + x(y² − z²) + (y³ − z³)]

= (x − y)(x − z)[x²(y − z) + x(y − z)(y + z) + (y − z)(y² + yz + z²)]

= (x − y)(x − z)(y − z)(x² + y² + z² + xy + xz + yz)

Với x > y > z nên suy ra x − y > 0; x − z > 0; y − z > 0     (1)

Lại có: x² + y² + z² + xy + xz + yz

\[ = \frac{1}{2}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 2xy + 2yz + 2xz} \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2xz + {z^2}} \right)} \right]\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2} + {{\left( {x + z} \right)}^2}} \right] > 0,\;\forall x > y > z\]              (2)

Từ (1) và (2) nên A luôn luôn dương.