Câu hỏi:
12/07/2024 352
Cho x > y > z. Chứng minh rằng biểu thức:
A = x4(y − z) + y4(z − x) + z4(x − y) luôn luôn dương
Cho x > y > z. Chứng minh rằng biểu thức:
A = x4(y − z) + y4(z − x) + z4(x − y) luôn luôn dương
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
A = x4(y − z) + y4(z − x) + z4(x − y)
= x4y − x4z + y4z − y4x + z4x − z4y
= xy(x3 − y3) − z(x4 − y4) + z4(x − y)
= xy(x − y)(x2 + xy + y2) − z(x − y)(x + y)(x2 + y2) + z4(x − y)
= (x − y)[xy(x2 + xy + y2) − z(x + y)(x2 + y2) + z4]
= (x − y)(x3y + x2y2 + xy3 − x3z − x2yz − xy2z − y3z + z4)
= (x − y)[x2y(x − z) + xy2(x − z) + y3(x − z) − z(x3 − z3)]
= (x − y)(x − z)[x2y + xy2 + y3 − z(x2 + xz + z2)]
= (x − y)(x − z)(x2y + xy2 + y3 − zx2 − xz2 − z3)
= (x − y)(x − z)[x2(y − z) + x(y2 − z2) + (y3 − z3)]
= (x − y)(x − z)[x2(y − z) + x(y − z)(y + z) + (y − z)(y2 + yz + z2)]
= (x − y)(x − z)(y − z)(x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz)
Với x > y > z nên suy ra x − y > 0; x − z > 0; y − z > 0 (1)
Lại có: x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz
\[ = \frac{1}{2}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 2xy + 2yz + 2xz} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2xz + {z^2}} \right)} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2} + {{\left( {x + z} \right)}^2}} \right] > 0,\;\forall x > y > z\] (2)
Từ (1) và (2) nên A luôn luôn dương.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD với AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì?
b) Tam giác EMC là tam giác gì?
c) Chứng minh: \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\).
Cho hình bình hành ABCD với AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì?
b) Tam giác EMC là tam giác gì?
c) Chứng minh: \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
16,213
Câu 2:
Cho các chữ số 1, 3, 4, 7, 8. Từ năm chữ số này có thể lập được tất cả bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau?
Cho các chữ số 1, 3, 4, 7, 8. Từ năm chữ số này có thể lập được tất cả bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau?
Xem đáp án »
12/07/2024
8,567
Câu 3:
Cho dãy số: 10; 13; 18; 26; 39; 60; … Tìm quy luật dãy số rồi viết tiếp 2 số vào dãy số.
Cho dãy số: 10; 13; 18; 26; 39; 60; … Tìm quy luật dãy số rồi viết tiếp 2 số vào dãy số.
Xem đáp án »
12/07/2024
5,579
Câu 4:
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC vuông góc với AD biết AB = 5 cm; CD = 11 cm. Tính độ dài AD
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC vuông góc với AD biết AB = 5 cm; CD = 11 cm. Tính độ dài AD
Xem đáp án »
12/07/2024
4,194
Câu 5:
Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và có diện tích bằng 48 cm2. Tính chu vi của hình chữ nhật đó.
Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và có diện tích bằng 48 cm2. Tính chu vi của hình chữ nhật đó.
Xem đáp án »
11/07/2024
2,480
Câu 7:
Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 36 cm chiều rộng bằng \(\frac{3}{5}\) chiều dài được uốn từ 1 sợi dây thép. Hỏi sợi dây thép đó dài bao nhiêu m?
Xem đáp án »
12/07/2024
2,031
về câu hỏi!