Cho tam giác ABC cân ở A có \(\widehat A = 100^\circ \). Điểm M nằm trong tam giác sao cho \(\widehat {MCB} = 20^\circ ;\;\widehat {MBC} = 30^\circ \). Tính góc AMB

Kẻ tam giác NBC đều

Khi đó NA là tian phân giác của góc BNC và \(\widehat {BNA} = \widehat {CNA} = 30^\circ \)

Xét tam giác BMC có:

\(\widehat {BMC} = 180^\circ - \widehat {MBC} - \widehat {MCB} = 180^\circ - 30^\circ - 20^\circ = 130^\circ \)

Xét tam giác ABC có:

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ - 100^\circ }}{2} = 40^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {ACM} = 40^\circ - \widehat {MCB} = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ \)

Và \(\widehat {ABM} = 40^\circ - \widehat {MBC} = 40^\circ - 30^\circ = 10^\circ \)

Xét \(\widehat {NCM} = 60^\circ - \widehat {MCB} = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {NCA} = 40^\circ - \widehat {ACM} = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ \)

Xét DCBM và DCNA có:

CB = CN

\(\widehat {MBC} = \widehat {ANC}\)

\(\widehat {MCB} = \widehat {ACN}\)

Suy ra DCBM = DCNA (g.c.g)

Þ CM = CA

Suy ra tam giác CMA cân tại C

\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {AMC} = \frac{{180^\circ - \widehat {MCA}}}{2} = \frac{{180^\circ - 20^\circ }}{2} = 80^\circ \)

Khi đó: \(\widehat {AMB} = 360^\circ - \widehat {BMC} - \widehat {AMC} = 360^\circ - 130^\circ - 80^\circ = 150^\circ \)