Câu hỏi:
13/07/2024 2,260
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \(\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\).
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \(\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\).
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z = 4 - x\\yz = 5 - x\left( {4 - x} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra (4 – x)2 ≥ 4[5 − x(4 − x)] ⇔ 3x2 − 8x + 4 ≤ 0⇔ \(\frac{2}{3}\) ≤ x ≤ 2.
Mặt khác (x3 + y3 + z3) = (x + y + z).(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) + 3xyz
= 4((x + y + z)2 − 3(xy + yz + zx)) + 3xyz = 4 + 3xyz
Suy ra P = \(\left( {4 + 3xyz} \right)\frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}\)\( = \frac{{20}}{{xyz}} + 15\) \( = \frac{{20}}{{{x^3} - 4{x^2} + 5x}} + 15\)
Xét hàm f(x) = x3 − 4x2 + 5x trên \(\left[ {\frac{2}{3};2} \right]\) ta có
f '(x) = 3x2 - 8x + 5, f '(x) = 0 ⇔ x = 1, x = \(\frac{5}{3}\)
và f(1) = f(2) = 2, \(f\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{50}}{{27}}\); \(f\left( {\frac{5}{3}} \right) = \frac{{50}}{{27}}\)
Suy ra 0 < f(x) ≤ 2 với mọi x ∈ \(\left[ {\frac{2}{3};2} \right]\).
Do đó P ≥ 25
Dấu “=” xảy ra khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25, đạt được khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho x + y = 2 và x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3.
Cho x + y = 2 và x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,440
Câu 2:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 94 m, chiều dài hơn chiều rộng 16 m. Tính diện tích của mảnh vườn đó?
Một mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 94 m, chiều dài hơn chiều rộng 16 m. Tính diện tích của mảnh vườn đó?
Xem đáp án »
13/07/2024
6,220
Câu 3:
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,126
Câu 4:
Tủ sách thư viện trường em có 2 ngăn: ngăn thứ nhất có số sách bằng \(\frac{2}{3}\) số sách ngăn thứ hai. Nếu xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn thứ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) số sách ngăn thứ hai. Hỏi ban đầu mỗi ngăn tủ có bao nhiêu cuốn sách?
Tủ sách thư viện trường em có 2 ngăn: ngăn thứ nhất có số sách bằng \(\frac{2}{3}\) số sách ngăn thứ hai. Nếu xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn thứ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) số sách ngăn thứ hai. Hỏi ban đầu mỗi ngăn tủ có bao nhiêu cuốn sách?
Xem đáp án »
13/07/2024
3,830
Câu 5:
Cô Hoa mua 5 kg gạo hết 85 000 đồng. Hỏi:
a) Mỗi ki-lô-gam gạo như vậy bao nhiêu tiền?
b) Bác Hiền mua 4 kg gạo như thế thì bác Hiền phải trả người bán hàng bao nhiêu tiền?
Cô Hoa mua 5 kg gạo hết 85 000 đồng. Hỏi:
a) Mỗi ki-lô-gam gạo như vậy bao nhiêu tiền?
b) Bác Hiền mua 4 kg gạo như thế thì bác Hiền phải trả người bán hàng bao nhiêu tiền?
Xem đáp án »
13/07/2024
3,416
Câu 7:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,588
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận