Câu hỏi:
13/07/2024 1,291
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \(\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\).
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \(\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z = 4 - x\\yz = 5 - x\left( {4 - x} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra (4 – x)2 ≥ 4[5 − x(4 − x)] ⇔ 3x2 − 8x + 4 ≤ 0⇔ \(\frac{2}{3}\) ≤ x ≤ 2.
Mặt khác (x3 + y3 + z3) = (x + y + z).(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) + 3xyz
= 4((x + y + z)2 − 3(xy + yz + zx)) + 3xyz = 4 + 3xyz
Suy ra P = \(\left( {4 + 3xyz} \right)\frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}\)\( = \frac{{20}}{{xyz}} + 15\) \( = \frac{{20}}{{{x^3} - 4{x^2} + 5x}} + 15\)
Xét hàm f(x) = x3 − 4x2 + 5x trên \(\left[ {\frac{2}{3};2} \right]\) ta có
f '(x) = 3x2 - 8x + 5, f '(x) = 0 ⇔ x = 1, x = \(\frac{5}{3}\)
và f(1) = f(2) = 2, \(f\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{50}}{{27}}\); \(f\left( {\frac{5}{3}} \right) = \frac{{50}}{{27}}\)
Suy ra 0 < f(x) ≤ 2 với mọi x ∈ \(\left[ {\frac{2}{3};2} \right]\).
Do đó P ≥ 25
Dấu “=” xảy ra khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25, đạt được khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho x + y = 2 và x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3.
Cho x + y = 2 và x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,985
Câu 2:
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,498
Câu 3:
Tủ sách thư viện trường em có 2 ngăn: ngăn thứ nhất có số sách bằng \(\frac{2}{3}\) số sách ngăn thứ hai. Nếu xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn thứ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) số sách ngăn thứ hai. Hỏi ban đầu mỗi ngăn tủ có bao nhiêu cuốn sách?
Tủ sách thư viện trường em có 2 ngăn: ngăn thứ nhất có số sách bằng \(\frac{2}{3}\) số sách ngăn thứ hai. Nếu xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn thứ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) số sách ngăn thứ hai. Hỏi ban đầu mỗi ngăn tủ có bao nhiêu cuốn sách?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,286
Câu 4:
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,067
Câu 5:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 94 m, chiều dài hơn chiều rộng 16 m. Tính diện tích của mảnh vườn đó?
Một mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 94 m, chiều dài hơn chiều rộng 16 m. Tính diện tích của mảnh vườn đó?
Xem đáp án »
13/07/2024
1,874
Câu 6:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,633
Câu 7:
Vẽ hai góc kề bù \(\widehat {xOy},\widehat {yOz}\) biết \(\widehat {xOy} = 80^\circ \). Gọi Om là tia phân giác của góc xOy, On là tia phân giác của góc yOz. Tính góc mOy, nOy và mOn.
Vẽ hai góc kề bù \(\widehat {xOy},\widehat {yOz}\) biết \(\widehat {xOy} = 80^\circ \). Gọi Om là tia phân giác của góc xOy, On là tia phân giác của góc yOz. Tính góc mOy, nOy và mOn.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,583
về câu hỏi!