Cho các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:

\(\left( {x + \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2006 + {y^2}} } \right) = 2006.\) Chứng minh x + y = 0.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ giả thiết ta có:

\(\left( {x - \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\left( {x + \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2006 + {y^2}} } \right) = \left( {x - \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \left( {2006 + {x^2}} \right)} \right)\left( {y + \sqrt {2006 + {y^2}} } \right) = \left( {x - \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\)\( \Leftrightarrow - \left( {y + \sqrt {2006 + {y^2}} } \right) = \left( {x - \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\) (1)

Tương tự ta có: \( - \left( {x + \sqrt {2006 + {x^2}} } \right) = \left( {y - \sqrt {2006 + {y^2}} } \right)\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được và rút gọn ta được:

− x – y = x + y \( \Leftrightarrow \) x + y = 0.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho x + y = 2 và x² + y² = 10. Tính giá trị của biểu thức x³ + y³.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có x + y = 2 \( \Rightarrow \) x² + 2xy + y² = 4

\( \Rightarrow \) 2xy = 4 – (x² + y²) = 4 – 10 = −6

\( \Rightarrow \) xy = −3.

Lại có (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

\( \Rightarrow \) x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)

Vậy x³ + y³ = 2³ −3. (−3).2 = 8 + 18 = 26.

Câu 2

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có:

\(x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}\); \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}}\)

Từ đó \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 3.\sqrt[3]{{xyz}}.3.\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}} = 9\).

Do đó \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).

Vậy \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).

Câu 3