Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 671. Chứng minh rằng xx2−yz+2013+yy2−zx+2013+zz2−xy+2013≥1x+y+z.

Ta có xx2−yz+2013+yy2−zx+2013+zz2−xy+2013 . x2x3−xyz+2013x+y2y3−xyz+2013y+z2z3−xyz+2013z. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được: x2x3−xyz+2013x+y2y3−xyz+2013y+z2z3−xyz+2013z≥x+y+z2x3+y3+z3−3xyz+2013x+y+z =x+y+z2x3+y3+z3−3xyz+3xy+yz+zxx+y+z =x+y+z2x+y+z3=1x+y+z. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu hỏi:

11/07/2024 374

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 671. Chứng minh rằng

$\frac{x}{x^{2} - y z + 2013} + \frac{y}{y^{2} - z x + 2013} + \frac{z}{z^{2} - x y + 2013} \geq \frac{1}{x + y + z}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $\frac{x}{x^{2} - y z + 2013} + \frac{y}{y^{2} - z x + 2013} + \frac{z}{z^{2} - x y + 2013}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{3} - x y z + 2013 x} + \frac{y^{2}}{y^{3} - x y z + 2013 y} + \frac{z^{2}}{z^{3} - x y z + 2013 z}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:

$\frac{x^{2}}{x^{3} - x y z + 2013 x} + \frac{y^{2}}{y^{3} - x y z + 2013 y} + \frac{z^{2}}{z^{3} - x y z + 2013 z}$ $\geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z + 2013 (x + y + z)}$

$= \frac{{(x + y + z)}^{2}}{x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z + 3 (x y + y z + z x) (x + y + z)}$

$= \frac{{(x + y + z)}^{2}}{{(x + y + z)}^{3}} = \frac{1}{x + y + z}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án

Lời giải

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh. (ảnh 1)

Giả sử ta cần vẽ hình chiếu của một điểm A trên cạnh BC, ta kẻ một đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H.

Vậy H là hình chiếu của một điểm A trên cạnh BC.

Câu 2

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C.

B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B.

C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.

D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Lời giải

Dùng biểu đồ Ven, ta có:

$Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai? A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C. B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B. C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C. D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C. (ảnh 1)$

Ta thấy A ⊂ B ⇒ C \ B ⊂ C \ A.

Suy ra phương án B sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 3

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 671. Chứng minh rằng xx2−yz+2013+yy2−zx+2013+zz2−xy+2013≥1x+y+z.

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng: a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho phương trình x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y1 = 2x1 – x2; y2 = 2x2 – x1.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 671. Chứng minh rằng

$\frac{x}{x^{2} - y z + 2013} + \frac{y}{y^{2} - z x + 2013} + \frac{z}{z^{2} - x y + 2013} \geq \frac{1}{x + y + z}$ .

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.