Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau và số n = a²b² + b²c² + c²a² là số chính phương.

Giả sử a, b, c là ba số tự nhiên lẻ liên tiếp có dạng a = 2k – 1, b = 2k + 1, c = 2k + 3, với k ∈ ℕ.

Khi đó bộ ba số tự nhiên (a, b, c) nguyên tố cùng nhau.

Ta có n = a²b² + b²c² + c²a²

= (2k – 1)²(2k + 1)² + (2k + 1)²(2k + 3)² + (2k + 3)²(2k – 1)²

= (4k² – 1)² + (2k + 3)².[(2k + 1)² + (2k – 1)²]

= 16k⁴ – 8k² + 1 + (4k² + 12k + 9).[(2k + 1 + 2k – 1)² – 2(2k + 1)(2k – 1)]

= 16k⁴ – 8k² + 1 + (4k² + 12k + 9).[16k² – 2(4k² – 1)]

= 16k⁴ – 8k² + 1 + (4k² + 12k + 9).(8k² + 2)

= 16k⁴ – 8k² + 1 + 32k⁴ + 8k² + 96k³ + 24k + 72k² + 18

= 48k⁴ + 96k³ + 72k² + 24k + 18 + 1.

Ta có 48; 96; 72; 24; 18 đều chia hết cho 3.

Suy ra 48k⁴; 96k³; 72k²; 24k; 18 đều chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.

Khi đó tổng 48k⁴ + 96k³ + 72k² + 24k + 18 chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.

Vì vậy 48k⁴ + 96k³ + 72k² + 24k + 18 + 1 chia cho 3 dư 1, với k ∈ ℕ.

Suy ra n là số chính phương.

Vậy ta có điều phải chứng minh.