Câu hỏi:
13/07/2024 320
Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau và số n = a2b2 + b2c2 + c2a2 là số chính phương.
Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau và số n = a2b2 + b2c2 + c2a2 là số chính phương.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giả sử a, b, c là ba số tự nhiên lẻ liên tiếp có dạng a = 2k – 1, b = 2k + 1, c = 2k + 3, với k ∈ ℕ.
Khi đó bộ ba số tự nhiên (a, b, c) nguyên tố cùng nhau.
Ta có n = a2b2 + b2c2 + c2a2
= (2k – 1)2(2k + 1)2 + (2k + 1)2(2k + 3)2 + (2k + 3)2(2k – 1)2
= (4k2 – 1)2 + (2k + 3)2.[(2k + 1)2 + (2k – 1)2]
= 16k4 – 8k2 + 1 + (4k2 + 12k + 9).[(2k + 1 + 2k – 1)2 – 2(2k + 1)(2k – 1)]
= 16k4 – 8k2 + 1 + (4k2 + 12k + 9).[16k2 – 2(4k2 – 1)]
= 16k4 – 8k2 + 1 + (4k2 + 12k + 9).(8k2 + 2)
= 16k4 – 8k2 + 1 + 32k4 + 8k2 + 96k3 + 24k + 72k2 + 18
= 48k4 + 96k3 + 72k2 + 24k + 18 + 1.
Ta có 48; 96; 72; 24; 18 đều chia hết cho 3.
Suy ra 48k4; 96k3; 72k2; 24k; 18 đều chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.
Khi đó tổng 48k4 + 96k3 + 72k2 + 24k + 18 chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.
Vì vậy 48k4 + 96k3 + 72k2 + 24k + 18 + 1 chia cho 3 dư 1, với k ∈ ℕ.
Suy ra n là số chính phương.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?
Xem đáp án »
28/06/2023
4,497
Câu 4:
Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.
Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,147
Câu 5:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB.
a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB.
a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,914
Câu 6:
Xe thứ nhất chở được 9 tấn xi-măng, xe thứ hai chở ít hơn xe thứ nhất 700 kg xi-măng. Hỏi cả hai xe chở được bao nhiêu tạ xi-măng?
Xe thứ nhất chở được 9 tấn xi-măng, xe thứ hai chở ít hơn xe thứ nhất 700 kg xi-măng. Hỏi cả hai xe chở được bao nhiêu tạ xi-măng?
Xem đáp án »
13/07/2024
1,862
Câu 7:
c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của .
c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của .
Xem đáp án »
13/07/2024
1,860
về câu hỏi!