Cho các số tự nhiên a1, a2, ..., a2013 có tổng bằng 20132014. Chứng minh rằng chia hết cho 3.

Theo đề, ta có a1 + a2 + ... + a2013 = 20132014. Đặt S=a13+a23+...+a20133 . Suy ra S−20132014=a13+a23+...+a20133−a1+a2+...+a2013 . =a13−a1+a23−a2+...+a20133−a2013 (*) Ta xét bài toán phụ sau: x3 – x = x(x2 – 1) = x(x – 1)(x + 1). Ta thấy x; (x – 1) và (x + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 3. Suy ra x3 – x chia hết cho 3. Từ kết quả của bài toán phụ trên, ta suy ra mỗi hiệu của tổng (*) đều chia hết cho 3. Do đó (*) chia hết cho 3 hay S – 20132014 chia hết cho 3. Mà 20132014 chia hết cho 3 (vì 2013 chia hết cho 3). Vậy S chia hết cho 3 hay chia hết cho 3 (điều phải chứng minh).

Câu hỏi:

19/08/2025 1,359

Cho các số tự nhiên a₁, a₂, ..., a₂₀₁₃ có tổng bằng 2013²⁰¹⁴. Chứng minh rằng chia hết cho 3.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề, ta có a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₃ = 2013²⁰¹⁴.

Đặt $S = a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + ... + a_{2013}^{3}$ .

Suy ra $S - 2013^{2014} = a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + ... + a_{2013}^{3} - (a_{1} + a_{2} + ... + a_{2013})$ .

$= (a_{1}^{3} - a_{1}) + (a_{2}^{3} - a_{2}) + ... + (a_{2013}^{3} - a_{2013})$ (*)

Ta xét bài toán phụ sau: x³ – x = x(x² – 1) = x(x – 1)(x + 1).

Ta thấy x; (x – 1) và (x + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 3.

Suy ra x³ – x chia hết cho 3.

Từ kết quả của bài toán phụ trên, ta suy ra mỗi hiệu của tổng (*) đều chia hết cho 3.

Do đó (*) chia hết cho 3 hay S – 2013²⁰¹⁴ chia hết cho 3.

Mà 2013²⁰¹⁴ chia hết cho 3 (vì 2013 chia hết cho 3).

Vậy S chia hết cho 3 hay chia hết cho 3 (điều phải chứng minh).

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong phép chia có số bị chia là 72, số chia là số kém số bé nhất có hai chữ số 2 đơn vị. Tính thương của hai số đó.

Xem đáp án

Lời giải

Số bé nhất có hai chữ số là: 10.

Số chia là: 10 – 2 = 8.

Thương của hai số đó là: 72 : 8 = 9.

Đáp số: 9.

Câu 2

Tìm dấu hiệu chia hết cho 11.

Xem đáp án

Lời giải

Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ – Tổng các chữ số hàng chẵn hoặc ngược lại chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11.

Câu 3