Cho các số tự nhiên a1, a2, ..., a2013 có tổng bằng 20132014. Chứng minh rằng chia hết cho 3.

Theo đề, ta có a1 + a2 + ... + a2013 = 20132014. Đặt S=a13+a23+...+a20133 . Suy ra S−20132014=a13+a23+...+a20133−a1+a2+...+a2013 . =a13−a1+a23−a2+...+a20133−a2013 (*) Ta xét bài toán phụ sau: x3 – x = x(x2 – 1) = x(x – 1)(x + 1). Ta thấy x; (x – 1) và (x + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 3. Suy ra x3 – x chia hết cho 3. Từ kết quả của bài toán phụ trên, ta suy ra mỗi hiệu của tổng (*) đều chia hết cho 3. Do đó (*) chia hết cho 3 hay S – 20132014 chia hết cho 3. Mà 20132014 chia hết cho 3 (vì 2013 chia hết cho 3). Vậy S chia hết cho 3 hay chia hết cho 3 (điều phải chứng minh).

Câu hỏi:

12/07/2024 1,231

Cho các số tự nhiên a₁, a₂, ..., a₂₀₁₃ có tổng bằng 2013²⁰¹⁴. Chứng minh rằng chia hết cho 3.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề, ta có a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₃ = 2013²⁰¹⁴.

Đặt $S = a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + ... + a_{2013}^{3}$ .

Suy ra $S - 2013^{2014} = a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + ... + a_{2013}^{3} - (a_{1} + a_{2} + ... + a_{2013})$ .

$= (a_{1}^{3} - a_{1}) + (a_{2}^{3} - a_{2}) + ... + (a_{2013}^{3} - a_{2013})$ (*)

Ta xét bài toán phụ sau: x³ – x = x(x² – 1) = x(x – 1)(x + 1).

Ta thấy x; (x – 1) và (x + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 3.

Suy ra x³ – x chia hết cho 3.

Từ kết quả của bài toán phụ trên, ta suy ra mỗi hiệu của tổng (*) đều chia hết cho 3.

Do đó (*) chia hết cho 3 hay S – 2013²⁰¹⁴ chia hết cho 3.

Mà 2013²⁰¹⁴ chia hết cho 3 (vì 2013 chia hết cho 3).

Vậy S chia hết cho 3 hay chia hết cho 3 (điều phải chứng minh).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong phép chia có số bị chia là 72, số chia là số kém số bé nhất có hai chữ số 2 đơn vị. Tính thương của hai số đó.

Xem đáp án

Lời giải

Số bé nhất có hai chữ số là: 10.

Số chia là: 10 – 2 = 8.

Thương của hai số đó là: 72 : 8 = 9.

Đáp số: 9.

Câu 2

Số học sinh khối 6 của trường khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng hay 18 hàng đều dư ra 9 học sinh. Hỏi số học sinh khối 6 trường đó là bao nhiêu? Biết rằng số đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400.

Xem đáp án

Lời giải

Do số học sinh khối 6 của trường khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng hay 18 hàng đều dư ra 9 học sinh nên số học sinh khối 6 của trường đó khi chia cho 12, 15, 18 đều dư 9.

Vì vậy nếu ta bỏ bớt 9 học sinh thì khi xếp hàng 12, 15, 18 đều vừa đủ.

Khi đó số học sinh khối 6 của trường đó là bội chung của 12, 15, 18.

Suy ra số học sinh khối 6 của trường đó là bội của BCNN(12, 15, 18).

Ta có 12 = 2².3; 15 = 3.5; 18 = 2.3².

Suy ra BCNN(12, 15, 18) = 2².3².5 = 180.

Do đó số học sinh khối 6 của trường đó là 180k + 9, với k ∈ ℕ*.

Lại có số học sinh khối 6 của trường đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400.

Tức là, 300 < 180k + 9 < 400.

⇔ 291 < 180k < 391.

$\Leftrightarrow \frac{97}{60} < k < \frac{391}{180}$ .

Mà k ∈ ℕ* nên k = 2.

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 180.2 + 9 = 369 (học sinh).

Câu 3