Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC), đường kính AD. Đường cao BE, CP, AQ cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng tứ giác APHE nội tiếp.

b) So sánh \(\widehat {BAH}\) và \(\widehat {OAC}\).

a)

Xét tam giác ABC có:

CP là đường cao nên CP vuông góc với AB hay \(\widehat {CPA} = 90^\circ \)

BE là đường cao nên BE vuông góc với AC hay \(\widehat {BEA} = 90^\circ \)

Xét tứ giác APHE có:

\(\widehat {APH} = \widehat {CPA} = 90^\circ \)

\(\widehat {AEH} = \widehat {BEA} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {APH} + \widehat {AEH} = 180^\circ \)

Do đó, tứ giác APHE nội tiếp.

b)

Điểm C thuộc đường tròn đường kính AD nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ \)

Xét đường tròn tâm O, \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AC)

Xét tam giác ABQ và tam giác ADC có:

\(\widehat {AQB} = \widehat {ACD} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABQ} = \widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (cmt)

Do đó, tam giác ABE và tam giác ADC đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {OAC}\).