Câu hỏi:
11/07/2024 491Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x3+y3+2x2y2 biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
P = (x + y)3 − 3xy (x + y) + 2x2y2
\[ = 2{x^2}{y^2} - 3xy + 1\].
Đặt t = xy, \[t \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\].
\[P = 2{t^2} - 3t + \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\]
\[ = \frac{1}{8}(4t - 1)(4t - 5) + \frac{3}{8} \ge \frac{3}{8}\]
Do đó, \[P \ge \frac{3}{8}\].
Đẳng thức xảy ra khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 1}\\{t = \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = y\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\].
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \[\frac{3}{8}\] khi \[x = y = \frac{1}{2}\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho các số: 13,1; 13,10; 1,3.103; 1,30.103; 1,3.10−3; 1,30.10−3. Có mấy số có hai chữ số có nghĩa.
Câu 2:
Trong 100 học sinh lớp 10, có 70 học sinh nói được tiếng Anh, 45 học sinh nói được tiếng Pháp và 23 học sinh nói được cả hai tiếng Anh và Pháp. Hỏi có bao nhiêu học sinh không nói được tiếng Anh và tiếng Pháp?
Câu 3:
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) sao cho C nằm giữa M và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh: A, B, K thẳng hàng.
Câu 5:
Cho n điểm trên mặt phẳng. Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, ..., An. Bạn Bình ký hiệu chúng là B1, B2, ..., Bn..
Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \].
Câu 6:
Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.
Câu 7:
Cho hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - y = 2m + 3}\\{x + 2y = 3m + 1}\end{array}} \right.\] với m là tham số. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 + y2 = 5.
về câu hỏi!