Câu hỏi:

12/07/2024 2,993

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn ab + bc + ac = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{\sqrt {{a^2} + 1} .\sqrt {{b^2} + 1} }}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} + \frac{{\sqrt {{b^2} + 1} .\sqrt {{c^2} + 1} }}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \frac{{\sqrt {{c^2} + 1} .\sqrt {{a^2} + 1} }}{{\sqrt {{b^2} + 1} }}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Với ab + bc + ca = 1 và a, b, c > 0, ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{a^2} + 1} = \sqrt {(a + b)(a + c)} }\\{\sqrt {{b^2} + 1} = \sqrt {(b + c)(b + a)} }\\{\sqrt {{c^2} + 1} = \sqrt {(c + a)(c + b)} }\end{array}} \right.\]

Do đó:

• \[\frac{{\sqrt {{a^2} + 1} .\sqrt {{b^2} + 1} }}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} = a + b\]

• \[\frac{{\sqrt {{b^2} + 1} .\sqrt {{c^2} + 1} }}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = b + c\]

\[\frac{{\sqrt {{c^2} + 1} .\sqrt {{a^2} + 1} }}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} = c + a\]

Þ P = 2(a + b + c)

Þ P²= 4(a + b + c)² ≥ 4. 3(ab + bc + ca)

Hay P² ≥ 12

\[ \Leftrightarrow P \ge 2\sqrt 3 \]

Dấu “=” xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = 2\sqrt 3 \] khi \[a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong 100 học sinh lớp 10, có 70 học sinh nói được tiếng Anh, 45 học sinh nói được tiếng Pháp và 23 học sinh nói được cả hai tiếng Anh và Pháp. Hỏi có bao nhiêu học sinh không nói được tiếng Anh và tiếng Pháp?

Xem đáp án

Lời giải

Lớp học 100 học sinh được chia làm 3 nhóm:

Không nói được tiếng

Nói được 1 thứ tiếng hoặc Anh hoặc Pháp

Nói được cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp

Tổng số học sinh không biết và nói được 1 thứ tiếng là:

100 – 23 = 77 (học sinh)

Số học sinh chỉ nói được tiếng Anh là:

70 – 23 = 47 (học sinh)

Số học sinh nói được tiếng pháp là:

45 – 23 = 22 (học sinh)

Số học sinh nói được tiếng Anh hoặc Pháp là:

47 + 22 = 69 (học sinh)

Ta có số học sinh không biết tiếng và số học sinh chỉ biết 1 thứ tiếng là 77 học sinh. Trong đó 69 học sinh chỉ nói được 1 thứ tiếng.

Số học sinh không biết tiếng Anh hoặc Pháp là:

77 – 69 = 8 (học sinh)

Đáp số: 8 học sinh

Câu 2

Cho các số: 13,1; 13,10; 1,3.10³; 1,30.10³; 1,3.10⁻³; 1,30.10⁻³. Có mấy số có hai chữ số có nghĩa.

Xem đáp án

Lời giải

Các số có hai chữ số có nghĩa là :

1,3.10³; 1,3.10⁻³

Vậy có 2 số có 2 chữ số có nghĩa.

Câu 3

Khẳng định nào sau đây đúng?

\[A.\,\,\overrightarrow a = ( - 5;0),\,\,\overrightarrow b = ( - 4;0)\] cùng hướng.

\[B.\,\,\overrightarrow c = (7;3)\]là vecto đối của \[\overrightarrow d = ( - 7;3)\].

C. \[C.\,\,\overrightarrow u = (4;2)\,,\,\,\overrightarrow v = (8;3)\] cùng phương.

D. \[\overrightarrow a = (6;3)\,,\,\,\overrightarrow b = (2;1)\] ngược hướng.

Lời giải