Câu hỏi:
03/07/2023 748Cho a,b,c là các số dương thoả mãn ab + bc + ac = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{\sqrt {{a^2} + 1} .\sqrt {{b^2} + 1} }}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} + \frac{{\sqrt {{b^2} + 1} .\sqrt {{c^2} + 1} }}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \frac{{\sqrt {{c^2} + 1} .\sqrt {{a^2} + 1} }}{{\sqrt {{b^2} + 1} }}\].
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Với ab + bc + ca = 1 và a, b, c > 0, ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{a^2} + 1} = \sqrt {(a + b)(a + c)} }\\{\sqrt {{b^2} + 1} = \sqrt {(b + c)(b + a)} }\\{\sqrt {{c^2} + 1} = \sqrt {(c + a)(c + b)} }\end{array}} \right.\]
Do đó:
• \[\frac{{\sqrt {{a^2} + 1} .\sqrt {{b^2} + 1} }}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} = a + b\]
• \[\frac{{\sqrt {{b^2} + 1} .\sqrt {{c^2} + 1} }}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = b + c\]
\[\frac{{\sqrt {{c^2} + 1} .\sqrt {{a^2} + 1} }}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} = c + a\]
Þ P = 2(a + b + c)
Þ P2 = 4(a + b + c)2 ≥ 4. 3(ab + bc + ca)
Hay P2 ≥ 12
\[ \Leftrightarrow P \ge 2\sqrt 3 \]
Dấu “=” xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = 2\sqrt 3 \] khi \[a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong 100 học sinh lớp 10, có 70 học sinh nói được tiếng Anh, 45 học sinh nói được tiếng Pháp và 23 học sinh nói được cả hai tiếng Anh và Pháp. Hỏi có bao nhiêu học sinh không nói được tiếng Anh và tiếng Pháp?
Câu 2:
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) sao cho C nằm giữa M và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh: A, B, K thẳng hàng.
Câu 3:
Cho các số: 13,1; 13,10; 1,3.103; 1,30.103; 1,3.10−3; 1,30.10−3. Có mấy số có hai chữ số có nghĩa.
Câu 5:
Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.
Câu 6:
Cho n điểm trên mặt phẳng. Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, ..., An. Bạn Bình ký hiệu chúng là B1, B2, ..., Bn..
Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \].
về câu hỏi!