Cho a, b, c > 0 thoả mãn \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\].
Cho a, b, c > 0 thoả mãn \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
• \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{2}{{ab}}\]
• \[\frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{2}{{bc}}\]
• \[\frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \ge \frac{2}{{ac}}\]
\[ \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}\]
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ta có: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = 9\]
\[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\]
Mà \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right) \le 3\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 9 \le 3\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\].
Suy ra \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\]hay P ≥ 3.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất P = 3 khi a = b = c = 1.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lớp học 100 học sinh được chia làm 3 nhóm:
Không nói được tiếng
Nói được 1 thứ tiếng hoặc Anh hoặc Pháp
Nói được cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp
Tổng số học sinh không biết và nói được 1 thứ tiếng là:
100 – 23 = 77 (học sinh)
Số học sinh chỉ nói được tiếng Anh là:
70 – 23 = 47 (học sinh)
Số học sinh nói được tiếng pháp là:
45 – 23 = 22 (học sinh)
Số học sinh nói được tiếng Anh hoặc Pháp là:
47 + 22 = 69 (học sinh)
Ta có số học sinh không biết tiếng và số học sinh chỉ biết 1 thứ tiếng là 77 học sinh. Trong đó 69 học sinh chỉ nói được 1 thứ tiếng.
Số học sinh không biết tiếng Anh hoặc Pháp là:
77 – 69 = 8 (học sinh)
Đáp số: 8 học sinh
Lời giải
Các số có hai chữ số có nghĩa là :
1,3.103; 1,3.10−3
Vậy có 2 số có 2 chữ số có nghĩa.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.