Câu hỏi:

04/07/2023 1,858

Cho a, b > 0 và a + b = 4. Tìm GTLN của \(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Do a, b > 0 nên \(1 - \frac{1}{a} > 0\); \(1 - \frac{1}{b} > 0\)

Áp dụng BĐT:

\(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

\(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\) \( \le \frac{1}{4}{\left( {1 - \frac{1}{a} + 1 - \frac{1}{b}} \right)^2} = \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2}\)

Chứng minh BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) (1)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{{x + y}}{{xy}}} \right)\left( {x + y} \right) \ge 4\)

(x + y)2 ≥ 4xy

(x – y)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Khi đó: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}} = \frac{4}{4} = 1\)

\(2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \le 2 - 1 = 1\)

\( \Rightarrow \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2} \le \frac{1}{4}.1 = \frac{1}{4}\)

Vậy \({P_{\max }} = \frac{1}{4}\) khi a = b = 2.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Chọn 5 học sinh tùy ý trong 11 học sinh có số cách là: \(C_{11}^5\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 462\)

Gọi A là biến cố chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nam và nữ.

Khi đó \(\overline A \) là biến cố chọn ra 5 học sinh trong đó tất cả là nữ hoặc tất cả là nam.

Suy ra n(\(\overline A \)) = \(C_6^5 + C_5^5 = 6 + 1 = 7\) (Cách)

\( \Rightarrow n(A) = n\left( \Omega \right) - n\left( {\overline A } \right) = 462 - 7 = 455\) (cách)

Vậy có 455 cách chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nữ và nam.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay