Câu hỏi:
04/07/2023 859Cho a, b > 0 và a + b = 4. Tìm GTLN của \(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Do a, b > 0 nên \(1 - \frac{1}{a} > 0\); \(1 - \frac{1}{b} > 0\)
Áp dụng BĐT:
\(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)
\(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\) \( \le \frac{1}{4}{\left( {1 - \frac{1}{a} + 1 - \frac{1}{b}} \right)^2} = \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2}\)
Chứng minh BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) (1)
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{{x + y}}{{xy}}} \right)\left( {x + y} \right) \ge 4\)
⇔ (x + y)2 ≥ 4xy
⇔ (x – y)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Khi đó: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}} = \frac{4}{4} = 1\)
⇒ \(2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \le 2 - 1 = 1\)
\( \Rightarrow \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2} \le \frac{1}{4}.1 = \frac{1}{4}\)
Vậy \({P_{\max }} = \frac{1}{4}\) khi a = b = 2.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ?
Câu 2:
Cho tam giác ABC có AB = 2; AC = 3; \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh BC.
Câu 3:
Chứng minh rằng n4 + 2n3 – n2 – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
Câu 4:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{6xy}} = \frac{1}{6}\).
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng (SAD);
B. Mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác;
C. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng (SAB);
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (IBD) và (SAC) là IO.
Câu 6:
Cho hình bình hành ABCD, có AC là đường chéo lớn. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, BI vuông góc với AC tại I.
Chứng minh rằng:
Câu 7:
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, AH là đường cao. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc AC tại F .
a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC.
b) Cho BH = 3cm, AH = 4cm. Tính AE, BE.
về câu hỏi!