Câu hỏi:
04/07/2023 550
Chứng minh với a, b, c ≥ 1 ta có: \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\].
Chứng minh với a, b, c ≥ 1 ta có: \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\].
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta cần chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\) với a, b > 0, ab ≥ 1
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1 + {b^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ab - {a^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} + \frac{{ab - {b^2}}}{{\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {ab - {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) + \left( {ab - {b^2}} \right)\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\) luôn đúng với \(\forall \)a,b > 0, ab ≥ 1
Ta có: \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{4}{{1 + abc}}\)
Áp dụng ĐBT trên ta có:
\(VT = \frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }} + \frac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }}\)
\(VT \ge \frac{4}{{1 + \sqrt {\sqrt {{a^3}{b^3}.ab{c^4}} } }} = \frac{4}{{1 + abc}}\)
Vậy \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\] (đpcm).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn 5 học sinh tùy ý trong 11 học sinh có số cách là: \(C_{11}^5\)
\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 462\)
Gọi A là biến cố chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nam và nữ.
Khi đó \(\overline A \) là biến cố chọn ra 5 học sinh trong đó tất cả là nữ hoặc tất cả là nam.
Suy ra n(\(\overline A \)) = \(C_6^5 + C_5^5 = 6 + 1 = 7\) (Cách)
\( \Rightarrow n(A) = n\left( \Omega \right) - n\left( {\overline A } \right) = 462 - 7 = 455\) (cách)
Vậy có 455 cách chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nữ và nam.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: IO//SA ⇒ IO//(SAD) và IO//(SAB) nên đáp án A và đáp án C đúng.
Ta có (SAC) ∩ (IBD) = IO nên đáp án D đúng.
Câu B ta có thiết diện là ∆IBD nên B sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận