Câu hỏi:
04/07/2023 552
Chứng minh với a, b, c ≥ 1 ta có: \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\].
Chứng minh với a, b, c ≥ 1 ta có: \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\].
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta cần chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\) với a, b > 0, ab ≥ 1
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1 + {b^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ab - {a^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} + \frac{{ab - {b^2}}}{{\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {ab - {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) + \left( {ab - {b^2}} \right)\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\) luôn đúng với \(\forall \)a,b > 0, ab ≥ 1
Ta có: \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{4}{{1 + abc}}\)
Áp dụng ĐBT trên ta có:
\(VT = \frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }} + \frac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }}\)
\(VT \ge \frac{4}{{1 + \sqrt {\sqrt {{a^3}{b^3}.ab{c^4}} } }} = \frac{4}{{1 + abc}}\)
Vậy \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\] (đpcm).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn 5 học sinh tùy ý trong 11 học sinh có số cách là: \(C_{11}^5\)
\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 462\)
Gọi A là biến cố chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nam và nữ.
Khi đó \(\overline A \) là biến cố chọn ra 5 học sinh trong đó tất cả là nữ hoặc tất cả là nam.
Suy ra n(\(\overline A \)) = \(C_6^5 + C_5^5 = 6 + 1 = 7\) (Cách)
\( \Rightarrow n(A) = n\left( \Omega \right) - n\left( {\overline A } \right) = 462 - 7 = 455\) (cách)
Vậy có 455 cách chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nữ và nam.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: IO//SA ⇒ IO//(SAD) và IO//(SAB) nên đáp án A và đáp án C đúng.
Ta có (SAC) ∩ (IBD) = IO nên đáp án D đúng.
Câu B ta có thiết diện là ∆IBD nên B sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận