Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh $\frac{1}{{2 + a}} + \frac{1}{{2 + b}} + \frac{1}{{2 + c}} \le 1$ .

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{1}{{2 + a}} + \frac{1}{{2 + b}} + \frac{1}{{2 + c}} \le 1$

⇔ (b + 2)(c + 2) + (a + 2)(c + 2) + (a + 2)(b + 2) ≤ (a + 2)(b + 2)(c + 2)

⇔ ab +bc + ca + 4(a + b + c) + 12 ≤ abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 8

⇔ ab + bc + ca + 4(a + b + c) + 12 ≤ 1 + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 8

⇔ ab + bc + ca ≥ 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có:

$ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} \ge 3$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Xem đáp án » 04/07/2023 6,907

Câu 2:

Xem đáp án » 04/07/2023 1,987

Câu 3:

Xem đáp án » 04/07/2023 1,788

Câu 4:

Xem đáp án » 04/07/2023 1,638

Câu 5:

Xem đáp án » 04/07/2023 1,195

Câu 6:

Xem đáp án » 04/07/2023 1,171