Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.

b) Chứng minh: ME // BN.

c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

a) Xét ∆OEB và ∆OMC

Vi ABCD là hình vuông nên ta có: OB = OC

Và \[\widehat B = \widehat C = 45^\circ \]

BE = CM (gt)

Þ ∆OEB = ∆OMC (c.g.c)

Þ OE = OM và \({\widehat O_1} = {\widehat O_3}\)

Lại có: \({\widehat O_1} + {\widehat O_2} = \widehat {BOC} = 90^\circ \) vì tứ giác ABCD là hình vuông

\({\widehat O_1} + {\widehat O_2} = \widehat {EOM} = 90^\circ \) kết hợp với OE = OM

Þ ∆OEM vuông cân tại O.

b) Tứ giác ABCD là hình vuông Þ AB = CD và AB // CD

AB // CD Þ AB // CN \( \Rightarrow \frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{BM}}{{MC}}\) (Theo định lý Ta-lét) (*)

Mà BE = CM (gt) và AB = CD Þ AE = BM thay vào (*)

Ta có: \[\frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AE}}{{EB}} \Rightarrow ME\;{\rm{//}}\;BN\] (theo định lý đảo Ta-lét)

c) Gọi H¢ là giao điểm của OM và BN

Từ ME // BN \[ \Rightarrow \widehat {OME} = \widehat {OH'E}\] (Cặp góc ở vị trí so le trong)

Mà \[\widehat {OME} = 45^\circ \] vì ∆OME vuông cân tại O

\( \Rightarrow \widehat {MH'B} = 45^\circ = \widehat {{C_1}}\)

Þ ∆OMC = ∆BMH¢ (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{OM}}{{OB}} = \frac{{MH'}}{{MC}}\), kết hợp \( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {CMH'}\) (hai góc đối đỉnh)

Þ ∆OMB = ∆CMH¢ (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {OBM} = \widehat {MH'C} = 45^\circ \)

Vậy \(\widehat {BH'C} + \widehat {BH'M} + \widehat {MH'C} = 90^\circ \Rightarrow CH' \bot BN\)

Mà CH ^ BN (H Î BN) Þ H = H¢ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (đpcm).