Gọi S là tập các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp S. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 1400.

Ta có: cos x = − cos (180° − x) Þ cos² x = cos² (180° − x)

sin x = cos (90° − x)

sin² x + cos² x = 1

A = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°

= cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°

= cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 80° + cos² 90° + cos² 80° + cos² 70° + ... + cos² 0°

= cos² 0° + cos² 90° + 2(cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 80°)

= 1 + 0 + 2(cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + cos² 40° + sin² 40° + sin² 30° + sin² 20° + sin² 10°)

= 1 + 0 + 2 . 4 = 9.

\(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DC} } \right)\left( {\overrightarrow {BA} \, + \,\overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {BA} + {\overrightarrow {AD} ^2} + \overrightarrow {DC} \,.\,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \,.\,\overrightarrow {AD} \)

\( = {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {DC} = {a^2} - a\,.\,2a = - {a^2}\)