Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh MI = IK = KN.

Trong ΔABC ta có:

E là trung điểm của cạnh AB

D là trung điểm của cạnh AC

Nên ED là đường trung bình của ΔABC

⇒ ED // BC và \[ED = \frac{1}{2}BC\] (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác BCDE có: ED // BC nên BCDE là hình thang.

Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE

M là trung điểm cạnh bên BE

N là trung điểm cạnh bên CD

Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE

⇒ MN // DE

Áp dụng tính chất đường trung bình hình thang ta có:

\[MN = \frac{1}{2}\left( {DE + BC} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}BC + BC} \right) = \frac{3}{4}BC\]

Trong ΔBED, ta có:

M là trung điểm BE

MI // DE

Þ MI là đường trung bình của ΔBED

\[ \Rightarrow MI = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{4}BC\] (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong ΔCED ta có:

N là trung điểm CD

NK // DE

Þ NK là đường trung bình của ΔCED

\[ \Rightarrow NK = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{4}BC\] (tính chất đường trung bình của tam giác)

\[ \Rightarrow IK = MN - (MI + NK) = \frac{3}{4}BC - \frac{1}{4}BC - \frac{1}{4}BC = \frac{1}{4}BC\]

\[ \Rightarrow MI = IK = NK = \frac{1}{4}BC\]

Vậy MI = IK = KN.