Câu hỏi:
13/07/2024 94Cho a, b, c > 0 thỏa mãn phương trình a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
\[\frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge \frac{3}{2}\].
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
• \[\frac{a}{{{b^2} + 1}} = a - \frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}} \ge a - \frac{{a{b^2}}}{{2b}} = a - \frac{{a{b^2}}}{2}\];
• \[\frac{b}{{{c^2} + 1}} = b - \frac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 1}} \ge b - \frac{{b{c^2}}}{{2c}} = b - \frac{{cb}}{2}\];
• \[\frac{c}{{{a^2} + 1}} = c - \frac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 1}} \ge c - \frac{{c{a^2}}}{{2a}} = c - \frac{{ac}}{2}\].
Cộng ba vế bất đẳng thức lại ta được:
\[\frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge a + b + c - \left( {\frac{{ab + bc + ac}}{2}} \right)\]
Ta có: \[ab + bc + ac \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{9}{3} = 3\]
\[ \Rightarrow \frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\]
Vậy \[\frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge \frac{3}{2}\]
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho sin x + cos x = m. Tính theo m giá trị của M = sin x.cos x.
Câu 2:
Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trường em và B là tập hợp các học sinh đang học môn Tiếng Anh của trường em. Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A.
Câu 4:
Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hoá, 6 học sinh giỏi Toán và Lý, 5 học sinh giỏi Hoá và Lý, 4 học sinh giỏi Toán và Hoá, 3 học sinh giỏi cà 3 môn. Hỏi số học sinh giỏi ít nhất 1 môn trong 3 môn là bao nhiêu em?
Câu 6:
Rút gọn biểu thức: \[A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2012}}}}\].
Câu 7:
Chứng minh \[1 + tanx + ta{n^2}x + ta{n^3}x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{{{\cos }^3}x}}\].
về câu hỏi!