Cho a, b, c > 0 thỏa mãn phương trình a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

\[\frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge \frac{3}{2}\].

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

• \[\frac{a}{{{b^2} + 1}} = a - \frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}} \ge a - \frac{{a{b^2}}}{{2b}} = a - \frac{{a{b^2}}}{2}\];

• \[\frac{b}{{{c^2} + 1}} = b - \frac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 1}} \ge b - \frac{{b{c^2}}}{{2c}} = b - \frac{{cb}}{2}\];

• \[\frac{c}{{{a^2} + 1}} = c - \frac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 1}} \ge c - \frac{{c{a^2}}}{{2a}} = c - \frac{{ac}}{2}\].

Cộng ba vế bất đẳng thức lại ta được:

\[\frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge a + b + c - \left( {\frac{{ab + bc + ac}}{2}} \right)\]

Ta có: \[ab + bc + ac \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{9}{3} = 3\]

\[ \Rightarrow \frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\]

Vậy \[\frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge \frac{3}{2}\]

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: sin x + cos x = m

⇔ (sin x + cos x)² = m²

⇔ sin²x + 2sin x.cos x + cos²x = m²

⇔ (sin²x + cos² x) + 2sin x.cos x = m²

⇔ 1 + 2sin x.cos x = m²

\[ \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\]

\[ \Rightarrow M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\]

Vậy \[M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\].

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

A ∪ B: tập hợp các học sinh hoặc học lớp 10 hoặc học môn Tiếng Anh của trường em.

A ∩ B: tập hợp các học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh của trường em.

A \ B: tập hợp các học sinh học lớp 10 nhưng không học môn Tiếng Anh của trường em.

B \ A: tập hợp các học sinh học môn Tiếng Anh của trường em nhưng không học lớp 10 của trường em.

Câu 3