Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \].

Ta có trong ΔABC có M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC

Þ PM là đường trung bình của ΔABC

Þ PM // AB và \[PM = \frac{1}{2}AB = NC\]

\[\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {NC} \]

Ta có:

• \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PM} \]

• \[\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PN} \]

• \[\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NP} \]

\[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NP} \]

\[ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {CN} \]

\[ = - \left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} } \right) + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NC} \]\[ = \overrightarrow 0 \]

Vậy \[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \].