Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\) tại x = 5; y = 7;

b) \(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\);

c) \(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\) tại x = –15; y = 5.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x² – y² ≠ 0 và 2y ≠ 0

\(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)

\( = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} - {x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)

\( = \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)

\( = \frac{y}{{x + y}}\)

Với x = 5; y = 7 ta thấy x² – y² = 5² – 7² = –24 ≠ 0 và 2y = 2.7 = 14 ≠ 0.

Do đó, giá trị của biểu thức A tại x = 5; y = 7 là:

\(A = \frac{y}{{x + y}} = \frac{7}{{5 + 7}} = \frac{7}{{12}}\).

b) Ta có: 2x² – xy = x(2x – y); y² – 4x² = (y – 2x)(y + 2x); 2x² + xy = x(2x + y).

Điều kiện xác định của biểu thức B là x ≠ 0; 2x – y ≠ 0 và 2x + y ≠ 0.

\(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\)

\[ = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{8y}}{{\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 2x} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\]

\( = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} - \frac{{8y}}{{\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\)

\[ = \frac{{{{\left( {2x + y} \right)}^2} - 8xy + {{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\]

\( = \frac{{4{x^2} + 4xy + {y^2} - 8xy + 4{x^2} - 4xy + {y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)

\( = \frac{{8{x^2} - 8xy + 2{y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right)}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)

\( = \frac{{2{{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {2x - y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\).

Ta thấy \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó giá trị của B tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) là:

\[B = \frac{{2.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{3}{2}} \right]}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{2}} \right]}} = \frac{{2.\frac{{ - 5}}{2}}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 5}}{{\frac{{ - 1}}{4}}} = 20\].

c) Điều kiện xác định của biểu thức C là x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ y.

\(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\)

\( = \left( {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}} \right)\left[ {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}} \right] - \frac{x}{y}\)

\( = \frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}.\frac{{{x^2} - {y^2} + {x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^3} - {y^3}}} - \frac{x}{y}\)

\( = \frac{{2{x^2} + xy}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)\( = \frac{{x\left( {2x + y} \right)}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)

\( = \frac{{2x + y}}{y} - \frac{x}{y} = \frac{{2x + y - x}}{y} = \frac{{x + y}}{y}\).

Ta thấy x = –15; y = 5 thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó giá trị của biểu thức C tại x = –15; y = 5 là:

\(C = \frac{{ - 15 + 5}}{5} = \frac{{ - 10}}{5} = - 2\).