Giải SBT Toán 8 Cánh diều Bài 2. Phép cộng, phép trừ phân thức đại số có đáp án

Lời giải

a) \(\frac{{x + 2y}}{a} + \frac{{x - 2y}}{a} = \frac{{x + 2y + x - 2y}}{a} = \frac{{\left( {x + x} \right) + \left( {2y - 2y} \right)}}{a} = \frac{{2x}}{a}\).

b) \(\frac{x}{{x - 1}} + \frac{1}{{1 - x}} = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} = 1\).

c) \(\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} - 1}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{1 - x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2 + 2x - 2 - {x^2} - x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\).

d) \(x + \frac{1}{{x + 1}} - 1\)

\( = \frac{{x.\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{1.\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - x - 1}}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\).

Lời giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x ≠ 1.

\(A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x + x - 1 - {x^2} + 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{3}{{x - 1}}\)

Với x = ‒4 ta thấy x ‒ 1 = ‒4 ‒ 1 = ‒5 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = ‒4 là: \(A = \frac{3}{{ - 4 - 1}} = \frac{{ - 3}}{5}\).

b) Điều kiện xác định của phân thức A là 5 ‒ x ≠ 0

\(B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}}\)

\( = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{x}{{x - 5}} = \frac{1}{{5 - x}} + \frac{x}{{5 - x}}\)

\( = \frac{{1 + x}}{{5 - x}}\)

Với x = 99 ta thấy 5 ‒ x = 5 ‒ 99 = ‒94 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = 99 là:

\(B = \frac{{1 + 99}}{{5 - 99}} = \frac{{100}}{{ - 94}} = - \frac{{50}}{{47}}\).

c*) Ta có: x³ ‒ x² + x ‒ 1 = (x³ ‒ x²) + (x ‒ 1)

= x²(x ‒ 1) + (x ‒ 1) = (x ‒ 1)(x² + 1).

Điều kiện xác định của biểu thức C là x ≠ 1.

Suy ra \(C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)

              \( = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + 1 - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)

            \({\rm{\;}} = \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)

Ta thấy x = 0,7 ≠ 1 thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy giá trị của biểu thức C tại x = 0,7 là: \(C = \frac{{0,7 - 1}}{{{{0,7}^2} + 1}} = \frac{{ - 0,3}}{{1,49}} = \frac{{ - 30}}{{149}}\).

d*) Điều kiện xác định của biểu thức D là x ≠ 0; x ≠ ‒1; x ≠ ‒2.

Ta có: \(D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\)

              \( = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}}\)\( = \frac{1}{x}\)

Ta thấy \(x = \frac{1}{{23}}\) thỏa mãn điều kiện xác định nên giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = \frac{1}{{23}}\) là:

\(D = \frac{1}{{\frac{1}{{23}}}} = 23\).

Lời giải

a) Ta có: x² ‒ 4 = x² ‒ 2² = (x ‒ 2)(x + 2) nên điều kiện xác định của biểu thức \(T\) là:

 x ‒ 2 ≠ 0; x + 2 ≠ 0 hay x ≠ 2; x ≠ ‒2.

b) Ta có: \(T = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}\)

\(\; = \frac{{{x^3}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\(\; = \frac{{{x^3} - {x^2} - 2x - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^3} - {x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\(\; = \frac{{\left( {{x^3} - 4x} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 4} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\(\; = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}} = x - 1\)

Suy ra T = 0 khi x ‒ 1 = 0 hay x = 1 (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy x = 1 thì T = 0.

c) Để T > 0 thì x ‒ 1 > 0 hay x > 1.

Kết hợp với x là số nguyên và điều kiện xác định x ≠ 2; x ≠ ‒2, suy ra x ∈ {3; 4; 5;...}.

Lời giải

a) Do tốc độ tàu tuần tra đi ngược dòng là x ‒ 2 (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng là: \(\frac{{60}}{{x - 2}}\) (giờ).

b) Do tốc độ tàu tuần tra đi xuôi dòng là x + 2 (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: \(\frac{{48}}{{x + 2}}\) (giờ).

c) Hiệu giữa thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng và thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là:

\(\frac{{60}}{{x - 2}} - \frac{{48}}{{x + 2}} = \frac{{60\left( {x + 2} \right) - 48\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{12x + 216}}{{{x^2} - 4}}\) (giờ).

Vậy phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng nhiều hơn thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: \(\frac{{12x + 216}}{{{x^2} - 4}}\) (giờ).

Lời giải

a) Khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định là: \(\frac{{120}}{x}\) (tấn).

b) Số xe thực tế là: x + 5 (xe).

Do đó, khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo thực tế là: \(\frac{{120}}{{x + 5}}\) (tấn).

c) Hiệu giữa khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo dự định và khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo thực tế là:

\(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 5}}\)\( = \frac{{120\left( {x + 5} \right)}}{{x.\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{120x}}{{x.\left( {x + 5} \right)}}\)

                   \( = \frac{{120x + 600 - 120x}}{{{x^2} + 5x}} = \frac{{600}}{{{x^2} + 5x}}\)(tấn).