Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) \(A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}\) tại x = –4;

b) \(B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}}\) tại x = 99;

c*) \(C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}}\) tại x = 0,7;

d*) \(D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\) tại \(x = \frac{1}{{23}}\).

Lời giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x ≠ 1.

\(A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x + x - 1 - {x^2} + 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{3}{{x - 1}}\)

Với x = ‒4 ta thấy x ‒ 1 = ‒4 ‒ 1 = ‒5 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = ‒4 là: \(A = \frac{3}{{ - 4 - 1}} = \frac{{ - 3}}{5}\).

b) Điều kiện xác định của phân thức A là 5 ‒ x ≠ 0

\(B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}}\)

\( = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{x}{{x - 5}} = \frac{1}{{5 - x}} + \frac{x}{{5 - x}}\)

\( = \frac{{1 + x}}{{5 - x}}\)

Với x = 99 ta thấy 5 ‒ x = 5 ‒ 99 = ‒94 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = 99 là:

\(B = \frac{{1 + 99}}{{5 - 99}} = \frac{{100}}{{ - 94}} = - \frac{{50}}{{47}}\).

c*) Ta có: x³ ‒ x² + x ‒ 1 = (x³ ‒ x²) + (x ‒ 1)

= x²(x ‒ 1) + (x ‒ 1) = (x ‒ 1)(x² + 1).

Điều kiện xác định của biểu thức C là x ≠ 1.

Suy ra \(C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)

              \( = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + 1 - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)

            \({\rm{\;}} = \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)

Ta thấy x = 0,7 ≠ 1 thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy giá trị của biểu thức C tại x = 0,7 là: \(C = \frac{{0,7 - 1}}{{{{0,7}^2} + 1}} = \frac{{ - 0,3}}{{1,49}} = \frac{{ - 30}}{{149}}\).

d*) Điều kiện xác định của biểu thức D là x ≠ 0; x ≠ ‒1; x ≠ ‒2.

Ta có: \(D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\)

              \( = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}}\)\( = \frac{1}{x}\)

Ta thấy \(x = \frac{1}{{23}}\) thỏa mãn điều kiện xác định nên giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = \frac{1}{{23}}\) là:

\(D = \frac{1}{{\frac{1}{{23}}}} = 23\).