Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ ${\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2,{\mathrm{x}}_3$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ${\mathrm{x}}_3-{\mathrm{x}}_1=2\sqrt{3}$. Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox là S. Diện tích ${\mathrm{S}}_1$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+1$, $\mathrm{y}=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-1$, $\mathrm{x}={\mathrm{x}}_1$ và $\mathrm{x}={\mathrm{x}}_3$ bằng

 

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f(3)=21, ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=9$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{x}.\mathrm{f}\text{'}\left(3\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(2-\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}.{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}\tan x.f\left({\cos }^{2}x\right)dx=2$ và ${\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}\frac{f\left({\ln }^{2}x\right)}{x.\ln x}dx=2$. Tính ${\int }_{1/4}^2\frac{f\left(2x\right)}{x}dx$.

Giả sử hàm số f(x) liên tục, dương trên R; thỏa mãn f(0)=1 và $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$. Khi đó hiệu $\mathrm{T}=\mathrm{f}\left(2\sqrt{2}\right)-2\mathrm{f}\left(1\right)$ thuộc khoảng nào?

Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho Ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng OO' = 5cm,OA = 10cm, OB = 20cm, đường cong AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A. Thể tích của chiếc mũ bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn $5\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-7\mathrm{f}\left(1-\mathrm{x}\right)=3\left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\right)$ ,. Biết rằng tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{x}.\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ ( với $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ là phân số tối giản ). Tính $\mathrm{T}=8\mathrm{a}-3\mathrm{b}$.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$, thoả mãn ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}f\text{'}\left(x\right){\cos }^{2}xdx=10$ và f(0)= 3. Tích phân ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}f\left(x\right)\sin 2xdx$ bằng