Câu hỏi:

12/07/2024 961

Trong Hình 1, tìm hai phép biến hình để biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Chuyên đề Toán 11 CTST Chuyên đề 1: Phép biến hình phẳng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Để tìm phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A’B’C’, ta tìm phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A1B1C1 và tìm phép biến hình biến ∆A1B1C1 thành ∆A’B’C’.

⦁ Để tìm phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A1B1C1, ta tìm phép biến hình biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm A1, B1, C1.

Ta thấy các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại O.

Xét phép vị tự tâm O, tỉ số k biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm A1, B1, C1.

Ta có V(O, k)(A) = A1.

Suy ra $\vec{O A_{1}} = k \vec{O A}$ và OA1 = |k|.OA.

Vì A, A1 nằm cùng phía đối với O nên k > 0.

Do đó $k = \frac{O A_{1}}{O A}$ .

Tương tự ta cũng có $k = \frac{O B_{1}}{O B}, k = \frac{O C_{1}}{O C}$

Do đó $k = \frac{O A_{1}}{O A} = \frac{O B_{1}}{O B} = \frac{O C_{1}}{O C}$

Vì vậy $V_{(O, \frac{O A_{1}}{O A})}$ là phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A1B1C1.

⦁ Để tìm phép biến hình biến ∆A1B1C1 thành ∆A’B’C’, ta tìm phép biến hình biến các điểm A1, B1, C1 theo thứ tự thành các điểm A’, B’, C’.

Ta thấy d là đường trung trực của đoạn A1A’.

Suy ra Đd(A1) = A’.

Chứng minh tương tự, ta được Đd(B1) = B’ và Đd(C1) = C’.

Vì vậy Đd là phép biến hình biến ∆A1B1C1 thành ∆A’B’C’.

Vậy hai phép biến hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ là $V_{(O, \frac{O A_{1}}{O A})}$ biến ∆ABC thành ∆A1B1C1 và Đd biến ∆A1B1C1 thành ∆A’B’C’.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm các hình đồng dạng với nhau trong Hình 6.

Xem đáp án

Lời giải

⦁ Ta xét hình hai ngôi nhà:

Tìm các hình đồng dạng với nhau trong Hình 6. (ảnh 2)

Giả sử O là điểm cố định và A là một điểm trên hình ngôi nhà 1 (hình vẽ).

Lấy điểm A’ trên hình ngôi nhà 2 có vị trí tương ứng với điểm A trên hình ngôi nhà 1.

Khi đó ta có ba điểm O, A, A’ thẳng hàng và A, A’ nằm cùng phía đối với O.

Suy ra $\vec{O A^{'}} = k \vec{O A}$ , với k > 0.

Do đó V(O, k)(A) = A’ và OA’ = k.OA.

Vì vậy $k = \frac{O A^{'}}{O A}$ .

Chọn một điểm B trên hình ngôi nhà 1 sao cho B ≠ A.

Lấy điểm B’ sao cho $\vec{O B^{'}} = k \vec{O B}$ .

Khi đó $V_{(O, \frac{O A^{'}}{O A})} (B) = B^{'}$ và điểm B’ là một điểm trên hình ngôi nhà 2 có vị trí tương ứng với điểm B trên hình ngôi nhà 1.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì trên hình ngôi nhà 1, ta lấy điểm M’ sao cho $V_{(O, \frac{O A^{'}}{O A})} (M) = M^{'}$ thì ta được tập hợp các điểm M’ tạo thành hình ngôi nhà 2.

Vì vậy $V_{(O, \frac{O A^{'}}{O A})}$ biến hình ngôi nhà 1 thành hình ngôi nhà 2.

Vì vậy phép đồng dạng tỉ số $\frac{O A^{'}}{O A}$ biến hình ngôi nhà 1 thành hình ngôi nhà 2.

Do đó hình ngôi nhà 1 và hình ngôi nhà 2 đồng dạng với nhau.

Chứng minh tương tự cho hình hai chiếc smartphone, ta cũng được kết quả như trên.

Vậy ta có hình hai ngôi nhà và hình hai chiếc smartphone đồng dạng với nhau trong Hình 6.

Câu 2

Cho hai hình vuông tùy ý ABCD và A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo lần lượt là O và O’ (Hình 4).

a) Gọi A1B1C1D1 là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{O O^{'}}$ . Gọi φ là góc lượng giác (O’A1, O’A’). Tìm ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 qua phép quay Q(O’, φ).

b) Cho biết $\vec{O^{'} A^{'}} = k \vec{O^{'} A_{2}}$ . Tìm ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua phép vị tự V(O’, k).

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy cho biết ta có thể kết luận là hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau được không. Giải thích.

Xem đáp án

Lời giải

a) Do phép quay là phép dời hình nên ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 cũng là hình vuông có kích thước bằng hình vuông A1B1C1D1.

Theo đề, ta có A1B1C1D1 là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo $\vec{O O^{'}}$ .

Mà O là tâm của hình vuông ABCD.

Nên ta có O’ là tâm của hình vuông A1B1C1D1.

Mà A2B2C2D2 là ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ) (giả thiết).

Suy ra O’ cũng là tâm của hình vuông A2B2C2D2.

Do đó O’A2 = O’B2 = O’C2 = O’D2.

Để tìm ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ), ta tìm vị trí các điểm A2, B2, C2, D2 theo thứ tự là ảnh của các điểm A1, B1, C1, D1 qua Q(O’, φ).

Ta có A2 = Q(O’, φ)(A1).

Suy ra O’A2 = O’A1 và (O’A1, O’A2) = φ.

Mà φ = (O’A1, O’A’) (giả thiết).

Do đó A2 nằm trên đường thẳng O’A’.

Vì vậy A2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’A’ thỏa mãn O’A2 = O’A1.

Ta có B2 = Q(O’, φ)(B1).

Suy ra O’B2 = O’B1 và (O’B1, O’B2) = φ.

Ta có O’ là tâm của hình vuông A2B2C2D2 và hình vuông A’B’C’D’.

Khi đó $\hat{A_{1} O^{'} B_{2}} = 90 ° - \hat{A_{2} O^{'} A_{1}}$ và $\hat{A_{1} O^{'} B^{'}} = 90 ° - \hat{A^{'} O^{'} A_{1}}$ .

Suy ra $\hat{A_{1} O^{'} B_{2}} = \hat{A_{1} O^{'} B^{'}}$ .

Do đó B2 nằm trên đường thẳng O’B’.

Vì vậy B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’ thỏa mãn O’B2 = O’B1.

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ C2 nằm trên đường thẳng O’C’ thỏa mãn O’C2 = O’C1;

⦁ D2 nằm trên đường thẳng O’D’ thỏa mãn O’D2 = O’D1.

Vậy ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ) là hình vuông A2B2C2D2 thỏa mãn A2, B2, C2, D2 lần lượt nằm trên O’A’, O’B’, O’C’, O’D’ và O’B2 = O’C2 = O’D2 = O’A2 = O’A1.

b) Để tìm ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua V(O’, k), ta tìm ảnh của các điểm A2, B2, C2, D2 qua V(O’, k).

Theo đề, ta có $\vec{O^{'} A^{'}} = k \vec{O^{'} A_{2}}$ .

Suy ra V(O’, k)(A2) = A’ và O’A’ = |k|.O’A2.

Ta có O’A2 = O’B2 (chứng minh trên) và O’A’ = O’B’ (O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’).

Suy ra $\frac{O^{'} B_{2}}{O^{'} B^{'}} = \frac{O^{'} A_{2}}{O^{'} A^{'}} = \frac{1}{|k|}$ .

Do đó O’B’ = |k|.O’B2.

Mà $\vec{O^{'} B^{'}}, \vec{O^{'} B_{2}}$ cùng phương (B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’).

Suy ra $\vec{O^{'} B^{'}} = k \vec{O^{'} B_{2}}$ .

Do đó V(O’, k)(B2) = B’.

Chứng minh tương tự, ta được V(O’, k)(C2) = C’ và V(O’, k)(D2) = D’.

Vậy ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua V(O’, k) là hình vuông A’B’C’D’.

c) Từ kết quả của câu a) và b), ta thấy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O’, góc quay φ = (O’A1, O’A’) và phép vị tự tâm O, tỉ số k biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Do đó hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau.

Vậy hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau.

Câu 3