Tìm các hình đồng dạng với nhau trong Hình 6.

Ta có ∆ABC đều có cạnh bằng 2. Suy ra AB = AC = 2 và $\widehat{BAC}=60°$.

Vì phép tịnh tiến và phép quay đều là phép dời hình nên ảnh của ∆ABC qua phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BC}}$ và phép quay Q(B, 60°) đều có các kích thước bằng các kích thước tương ứng của ∆ABC.

Gọi f là phép biến hình có được bằng thực hiện hai phép biến hình liên tiếp là phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BC}}$ và phép quay Q(B, 60°).

Suy ra f là phép dời hình.

Do đó phép đồng dạng tỉ số 3 có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép dời hình f và phép vị tự V(A, 3) biến ∆ABC thành ∆A1B1C1.

Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 3 biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm A1, B1, C1.

Khi đó A1B1 = 3AB = 3.2 = 6 và A1C1 = 3AC = 3.2 = 6.

Vì ∆ABC và ∆A1B1C1 đồng dạng với nhau nên $\widehat{B_1{A}_1{C}_1}=\widehat{BAC}=60°$.

Ta có $S_{\Delta A_1{B}_1{C}_1}=\frac{1}{2}.A_1{B}_1.A_1{C}_1.\sin \widehat{B_1{A}_1{C}_1}=\frac{1}{2}\mathrm{.6.6.}\sin 60°=9\sqrt{3}$.

Vậy diện tích ∆A1B1C1 bằng $9\sqrt{3}$.

Gọi f là phép đồng dạng cần tìm.

⦁ Để tìm phép biến hình biến hình (A) thành hình (B), ta tìm phép biến hình biến các điểm M, N, P, Q theo thứ tự thành các điểm M’, N’, P’, Q’.

Ta thấy các đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ đồng quy tại I.

Xét phép vị tự tâm I, tỉ số k biến các điểm M, N, P, Q theo thứ tự thành các điểm M’, N’, P’, Q’.

Ta có V(I, k)(M) = M’.

Suy ra $\overrightarrow{O{M}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{OM}$ và OM’ = |k|.OM.

Vì M, M’ nằm cùng phía đối với I nên k > 0.

Do đó $k=\frac{O{M}^{\text{'}}}{OM}$.

Tương tự ta cũng có $k=\frac{O{N}^{\text{'}}}{ON},k=\frac{O{P}^{\text{'}}}{OP},k=\frac{O{Q}^{\text{'}}}{OQ}$

Do đó $k=\frac{O{M}^{\text{'}}}{OM}=\frac{O{N}^{\text{'}}}{ON}=\frac{O{P}^{\text{'}}}{OP}=\frac{O{Q}^{\text{'}}}{OQ}$

Vì vậy $V_{\left(I,\frac{O{M}^{\text{'}}}{OM}\right)}$ là phép biến hình biến hình (A) thành hình (B).

⦁ Ta thấy OP’ = OP” và $\widehat{P^{\text{'}}O{P^{\text{'}}}^{\text{'}}}=90°$.

Suy ra phép quay tâm O, góc quay 90° biến điểm P’ thành điểm P”.

Chứng minh tương tự, ta thấy Q(O, 90°) cũng biến các điểm khác trên hình (B) thành các điểm có vị trí tương ứng trên hình (C).

Vì vậy Q(O, 90°) biến hình (B) thành hình (C).

⦁ Xét hai điểm N, P, ta có:

+) N’ = V(I, k)(N) và N” = Q(O, 90°)(N’);

+) P’ = V(I, k)(P) và P” = Q(O, 90°)(P’).

Do đó:

+) N’P’ = V(I, k)(NP). Suy ra N’P’ = k.NP;

+) N”P” = Q(O, 90°)(N’P’). Suy ra N”P” = N’P’.

Vì vậy N”P” = N’P’ = k.NP.

Vậy f là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) biến (A) thành (C) thỏa mãn (B) = V(I, k)((A)) và (C) = Q(O, 90°)((B));