Câu hỏi:

13/07/2024 2,252

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A', AA'. Chứng minh rằng:

a) Sáu điểm M, N, P, Q, R, S cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Các đoạn thẳng MQ, NR, PS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 5. Hình lăng trụ và hình hộp có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A', AA'. Chứng minh rằng: a) Sáu điểm M, N, P, Q, R, S cùng thuộc một mặt phẳng. b) Các đoạn thẳng MQ, NR, PS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. (ảnh 1)

a) Ta có S và P lần lượt là trung điểm của AA' và CC'.

Suy ra $A S = \frac{1}{2} A A'; C P = \frac{1}{2} A A'$ .

Mà AA' = CC' và AA' // CC' (do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp)

Nên AS = CP và AS // CP. Do đó, tứ giác ASPC là hình bình hành.

Suy ra AC // SP.

Mặt khác MN // AC (do MN là đường trung bình của tam giác ABC).

Khi đó, MN // SP.

Vậy M, N, P, S cùng thuộc một mặt phẳng.

Ta cũng chứng minh được PQ // CD', CD' // BA', BA' // MS nên PQ // MS.

Do đó Q ∈ (MNPS).

Tương tự ta có QR // MN nên R ∈ (MNPS).

Vậy sáu điểm M, N, P, Q, R, S cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Gọi O là giao điểm của các đường chéo hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Khi đó, O là trung điểm của các đường chéo BD', B'D, AC', A'C.

Ta có tứ giác BND'R là hình bình hành, nên hai đường chéo BD', NR cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Tương tự, ta chứng minh được QM, PS đều nhận O là trung điểm.

Vậy các đoạn thẳng MQ, NR, PS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, I, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A'B'C', A'B'B.

a) Chứng minh rằng IK // (BCC'B').

b) Chứng minh rằng (AGK) // (A'IC).

c) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt A'C tại điểm L. Tính $\frac{L A'}{L C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, I, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A'B'C', A'B'B. a) Chứng minh rằng IK // (BCC'B'). b) Chứng minh rằng (AGK) // (A'IC). c) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt A'C tại điểm L. Tính . (ảnh 1)

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh B'C', BB'.

Do I, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác A'B'C' và A'B'B nên $\frac{A' I}{A' M} = \frac{A' K}{A' N} = \frac{2}{3}$ .

Suy ra IK // MN. Mà MN ⊂ (BCC'B') nên IK // (BCC'B').

b) Gọi P là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, mặt phẳng (AGK) cũng là mặt phẳng (AB'P), mặt phẳng (A'IC) cũng là mặt phẳng (A'MC).

Ta có B'P // MC (B'MCP là hình bình hành) nên B'P // (A'MC)

AP // A'M (APMA' là hình bình hành) nên AP // (A'MC).

Từ đó, suy ra (AB'P) // (A'MC) hay (AGK) // (A'IC).

c) Với K là trọng tâm của tam giác A'BB', ta suy ra $\frac{B' K}{B' A} = \frac{1}{3}$ nên $\frac{B' K}{K A} = \frac{1}{2}$ .

Ta có đường thẳng B'A cắt ba mặt phẳng song song (A'B'C'), (α), (ABC) lần lượt tại B', K, A; đường thẳng A'C cũng cắt ba mặt phẳng trên theo thứ tự tại A', L, C.

Áp dụng định lí Thalés trong không gian, ta có: $\frac{B' K}{A' L} = \frac{K A}{L C} = \frac{A B'}{C A'}$ .

Suy ra $\frac{A' L}{L C} = \frac{B' K}{K A} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $\frac{L A'}{L C} = \frac{1}{2}$ .

Câu 2

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Các mặt của hình hộp là các hình bình hành.

B. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

C. Các đoạn thẳng AC', A'C, BD', B'D bằng nhau.

D. Các đường thẳng AC', A'C, BD', B'D đồng quy.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Các mặt của hình hộp là các hình bình hành. B. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau. C. Các đoạn thẳng AC', A'C, BD', B'D bằng nhau. D. Các đường thẳng AC', A'C, BD', B'D đồng quy. (ảnh 1)

Theo định nghĩa và tính chất của hình hộp, ta có các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.

Câu 3