Câu hỏi:
24/07/2023 202Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Trước hết ta chứng minh một kết quả trong hình học phẳng: Trong hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh.
Xét hình bình hành MNPQ:
Áp dụng định lí côsin trong các tam giác MPQ và QPN, ta có:
MP2 = QM2 + QP2 – 2QM . QP . cos
QN2 = PQ2 + PN2 – 2PQ . PN . cos
Do QM = PN và (do hai góc bù nhau) nên ta có:
MP2 + QN2 = 2(QM2 + QP2).
Xét hình hộp ABCD.A'B'C'D':
Áp dụng kết quả trên cho hai hình bình hành AA'C'C và BB'D'D ta được:
AC'2 + A'C2 = 2(AA'2 + A'C'2)
BD'2 + B'D2 = 2(BB'2 + B'D'2)
Suy ra AC'2 + A'C2 + BD'2 + B'D2 = 4AA'2 + 2(A'C'2 + B'D'2) (do AA' = BB').
Mặt khác, trong hình bình hành A'B'C'D', ta có: A'C'2 + B'D'2 = 2(A'B'2 + A'D'2).
Vậy AC'2 + A'C2 + BD'2 + B'D2 = 4AA'2 + 4A'B'2 + 4A'D'2.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Các mặt của hình hộp là các hình bình hành.
B. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.
C. Các đoạn thẳng AC', A'C, BD', B'D bằng nhau.
D. Các đường thẳng AC', A'C, BD', B'D đồng quy.
Câu 2:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, I, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A'B'C', A'B'B.
a) Chứng minh rằng IK // (BCC'B').
b) Chứng minh rằng (AGK) // (A'IC).
c) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt A'C tại điểm L. Tính .
Câu 4:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của A'C'.
a) Chứng minh rằng A'B // (B'CM).
b) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC').
Câu 5:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (BA'C') song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. (ACD).
B. (ADD').
C. (DCD').
D. (AD'C).
Câu 6:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A', AA'. Chứng minh rằng:
a) Sáu điểm M, N, P, Q, R, S cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Các đoạn thẳng MQ, NR, PS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Câu 7:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B', B'C'. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) và (ACC'A'). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d // AA'.
B. d // BC.
C. d // A'B'.
D. d // A'C'.
về câu hỏi!