Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn: 1a+1b+1c2=1a2+1b2+1c2 Chứng minh: a3 + b3 + c3 chia hết cho 3.

1a+1b+1c2=1a2+1b2+1c2 ⇔1a+1b+1c2=1a2+1b2+1c2 Phân tích vế trái ta được: 1a+1b+1c2=1a+1b2+2ac+2bc+1c2=1a2+2ab+1b2+2ac+2bc+1c2⇒1a2+1b2+1c2+2ab+2ac+2bc=1a2+1b2+1c2⇒2.1ab+1ac+1bc=0⇒cabc+babc+aabc=0⇒a+b+c=0.abc=0⇒a+b=−c⇒−a+b=c Thay vào ta có: a3 + b3 + c3 = a3 + b3 – (a + b)3 = –3a2b – 3ab2 = 3 (–a2b – ab2) ⋮ 3

Câu hỏi:

26/07/2023 245

Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn: ${(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

Chứng minh: a³ + b³ + c³ chia hết cho 3.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

${(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

$\Leftrightarrow {[(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + \frac{1}{c}]}^{2} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

Phân tích vế trái ta được:

$\begin{array}{l} {((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + \frac{1}{c})}^{2} = {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} + \frac{2}{a c} + \frac{2}{b c} + {(\frac{1}{c})}^{2} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{a b} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{a c} + \frac{2}{b c} + \frac{1}{c^{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a b} + \frac{2}{a c} + \frac{2}{b c} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \\ \Rightarrow 2. (\frac{1}{a b} + \frac{1}{a c} + \frac{1}{b c}) = 0 \\ \Rightarrow \frac{c}{a b c} + \frac{b}{a b c} + \frac{a}{a b c} = 0 \\ \Rightarrow a + b + c = 0. a b c = 0 \\ \Rightarrow a + b = - c \\ \Rightarrow - (a + b) = c \end{array}$

Thay vào ta có: a³ + b³ + c³ = a³ + b³ – (a + b)³ = –3a²b – 3ab² = 3 (–a²b – ab²) ⋮ 3

Bình luận

Câu 1:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{M B} = \vec{M C}$

B. $\vec{A M} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\vec{A M}$ = a

D. $|\vec{A M}| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án » 26/07/2023 17,672

Câu 2:

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, d > 0;

B. a < 0, d > 0;

C. a > 0, d < 0;

D. a < 0, d < 0.

Xem đáp án » 26/07/2023 13,845

Câu 3:

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

A. $S = \{- \frac{π}{6} + k π, \frac{7 π}{12} + k π, k \in ℤ\}$

B. $S = \{- \frac{π}{12} + k π, \frac{7 π}{12} + k π, k \in ℤ\}$

C. $S = \{- \frac{π}{6} + k π, \frac{7 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ\}$

D. $S = \{- \frac{π}{12} + k 2 π, \frac{7 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ\}$

Xem đáp án » 26/07/2023 13,597

Câu 4:

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

A. C(5; -4);

B. C(5; 4);

C. C(-5; 4);

D. C(-5; -4).

Xem đáp án » 26/07/2023 10,371

Câu 5:

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Xem đáp án » 12/07/2024 9,559

Câu 6:

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 8,590

Câu 7:

Phương trình $\log_{x} 2 + \log_{2} x = \frac{5}{2}$

A. Vô nghiệm;

B. Có một nghiệm âm;

C. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương;

D. Có hai nghiệm dương.

Xem đáp án » 26/07/2023 8,418

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn: ${(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

Chứng minh: a³ + b³ + c³ chia hết cho 3.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

Phương trình $\log_{x} 2 + \log_{2} x = \frac{5}{2}$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn: 1a+1b+1c2=1a2+1b2+1c2 Chứng minh: a3 + b3 + c3 chia hết cho 3.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = ax3 + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G 13;0 là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x1, x2 thỏa mãn x1 – 2x2 = 3.

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) mx+2y=m+12x+my=2m−1

Phương trình logx2+log2x=52

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn: ${(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

Chứng minh: a³ + b³ + c³ chia hết cho 3.

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

Phương trình $\log_{x} 2 + \log_{2} x = \frac{5}{2}$