Câu hỏi:

13/07/2024 17,211

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\).

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{{GQ}}{{GD}} = \frac{1}{3}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

a)

Media VietJack

+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.

Do đó M BI.

Lại có AI (ABI) nên M (ABI).

+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.

Do đó N AI.

Lại có BI (ABI) nên N (ABI).

b) Trong DBCD có M là trọng tâm tam giác nên \(\frac{{MI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\).

Trong DACD có N là trọng tâm tam giác nên \(\frac{{NI}}{{AI}} = \frac{1}{3}\).

Xét DABI có: \(\frac{{NI}}{{AI}} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\) nên MN // AB (theo định lí Thalès đảo).

Xét DABI và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NI}}{{AI}} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\).

Xét DABG và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{GN}}{{GB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).

c)

Media VietJack

Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: \(\frac{{G'M}}{{G'A}} = \frac{{G'P}}{{G'C}} = \frac{{PM}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)\(\frac{{G''M}}{{G''A}} = \frac{{G''Q}}{{G''D}} = \frac{{QM}}{{AD}} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{G'M}}{{G'A}} = \frac{{G''M}}{{G''A}} = \frac{1}{3}\).

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

• Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E BC).

Ta có: Q là trọng tâm DABC nên \(\frac{{AQ}}{{AE}} = \frac{2}{3}\).

Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F BD).

Ta có: P là trọng tâm DABD nên \(\frac{{AP}}{{AF}} = \frac{2}{3}\).

+) Trong mặt phẳng (AEF), có: \(\frac{{AQ}}{{AE}} = \frac{{AP}}{{AF}} = \frac{2}{3}\) nên PQ // EF (định lí Thalès đảo)

Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).

Suy ra PQ // CD

Theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{{GQ}}{{GD}} = \frac{{QP}}{{CD}} = \frac{{QP}}{{2EF}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và AD.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng AB, SB.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (CMN) với mỗi mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Xem đáp án » 13/07/2024 43,171

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao cho MA = 2MS, NS = 2NC.

a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (ABC).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BMN) với mặt phẳng (ABC).

Xem đáp án » 13/07/2024 30,793

Câu 3:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi M là trung điểm của SA.

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng (SAB).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SBC).

Xem đáp án » 13/07/2024 25,381

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AD, BC sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3},\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{2}{3},\frac{{BP}}{{BC}} = \frac{3}{4}\).

a) Xác định E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AC, BD với mặt phẳng (MNP).

b) Chứng minh rằng các đường thẳng NE, PF và CD cùng đi qua một điểm.

Xem đáp án » 13/07/2024 11,417

Câu 5:

Trong Ví dụ 4 xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Media VietJack

Xem đáp án » 13/07/2024 10,851

Câu 6:

Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy.

Xem đáp án » 13/07/2024 7,184
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua