Câu hỏi:
13/07/2024 17,475
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.
a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).
b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\).
c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{{GQ}}{{GD}} = \frac{1}{3}\).
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.
a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).
b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\).
c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{{GQ}}{{GD}} = \frac{1}{3}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a)
+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.
Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.
Do đó M ∈ BI.
Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).
+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.
Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.
Do đó N ∈ AI.
Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).
b) Trong DBCD có M là trọng tâm tam giác nên \(\frac{{MI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\).
Trong DACD có N là trọng tâm tam giác nên \(\frac{{NI}}{{AI}} = \frac{1}{3}\).
Xét DABI có: \(\frac{{NI}}{{AI}} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\) nên MN // AB (theo định lí Thalès đảo).
Xét DABI và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NI}}{{AI}} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\).
Xét DABG và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{GN}}{{GB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).
c)
• Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.
Chứng minh tương tự câu b, ta có: \(\frac{{G'M}}{{G'A}} = \frac{{G'P}}{{G'C}} = \frac{{PM}}{{AC}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{G''M}}{{G''A}} = \frac{{G''Q}}{{G''D}} = \frac{{QM}}{{AD}} = \frac{1}{3}\)
Do đó \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{G'M}}{{G'A}} = \frac{{G''M}}{{G''A}} = \frac{1}{3}\).
Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.
Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.
• Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).
Ta có: Q là trọng tâm DABC nên \(\frac{{AQ}}{{AE}} = \frac{2}{3}\).
Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).
Ta có: P là trọng tâm DABD nên \(\frac{{AP}}{{AF}} = \frac{2}{3}\).
+) Trong mặt phẳng (AEF), có: \(\frac{{AQ}}{{AE}} = \frac{{AP}}{{AF}} = \frac{2}{3}\) nên PQ // EF (định lí Thalès đảo)
Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).
Suy ra PQ // CD
Theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{{GQ}}{{GD}} = \frac{{QP}}{{CD}} = \frac{{QP}}{{2EF}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a)
+) Trong mặt phẳng (ABCD): Gọi giao điểm của AB với NC là E.
Mà NC ⊂ (CMN)
Suy ra: (CMN) ∩ AB = {E}.
+) Trong mặt phẳng (SAB): Kéo dài EM cắt AB tại F.
Mà EM ⊂ (CMN)
Suy ra (SAB) ∩ EM = {F}.
b)
+) Ta có: M ∈ SA mà SA ⊂ (SAB) nên M ∈ (SAB);
M ∈ CM mà CM ⊂ (CMN) nên M ∈ (CMN).
Do đó M là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (CMN).
Ta lại có: AB ∩ CN = {E};
AB ⊂ (SAB);
CN ⊂ (CMN).
Do đó E là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (CMN).
Vì vậy (SAB) ∩ (CMN) = EM.
+) Ta có: C ∈ SC mà SC ⊂ (SBC);
C ∈ CM mà CM ⊂ (CMN).
Do đó C là giao điểm của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).
Ta lại có: SB ∩ EM = {F};
SB ⊂ (SBC);
EM ⊂ (CMN).
Do đó F là giao điểm của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).
Vì vậy (SBC) ∩ (CMN) = CF.
Lời giải
Lời giải
a) Trong mặt phẳng (SAC), gọi giao điểm của MN và AC là P.
Mà AC ⊂ (SAC)
Do đó MN ∩ (ABC) = {P}.
b) Ta có MN ∩ (ABC) = {P} nên P ∈ (ABC)
Lại có P ∈ MN mà MN ⊂ (BMN) nên P ∈ (BMN)
Do đó P là giao điểm của (BMN) và (ABC).
Mặt khác: B ∈ (BMN) và B ∈ (ABC).
Do đó B là giao điểm của (BMN) và (ABC).
Vì vậy (BMN) ∩ (ABC) = BP.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
-
Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)
-
Bài tập Xác suất ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)
-
38 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Lôgarit có đáp án
-
12 câu Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án (Nhận biết)
-
Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P6)
-
10 Bài tập Biến cố hợp. Biến cố giao (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận