Câu hỏi:

11/07/2024 162

Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn $\log_{11} (3 x + 4 y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2})$ ?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 9) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án: 2

Đặt $\log_{11} (3 x + 4 y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2}) = t \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x + 4 y = 11^{t} \\ x^{2} + y^{2} = 4^{t} \end{cases}$

Hệ có nghiệm <=> đường thẳng $Δ : 3 x + 4 y = 11^{t}$ và đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} = 4^{t}$ có điểm chung $\Leftrightarrow d (O, Δ) \leq R \Leftrightarrow \frac{11^{t}}{5} \leq 2^{t} \Leftrightarrow {(\frac{11}{2})}^{t} \leq 5 \Leftrightarrow t \leq \log_{\frac{11}{2}} 5$

Do $x^{2} + y^{2} = 4^{t}$ nên $| y | \leq 2^{t} \leq 2^{\log_{\frac{11}{2}} 5} \approx 1.9239767$ . Vì $y \in ℤ$ nên $y \in {- 1; 0; 1}$

Thử lại:

Với y = -1, hệ (*) trở thành $\{\begin{array}{l} 3 x - 4 = 11^{t} \\ x^{2} + 1 = 4^{t} \end{array} \Rightarrow {(\frac{11^{t} + 4}{3})}^{2} + 1 = 4^{t} \Leftrightarrow 121^{t} + {8.11}^{t} + 25 = {9.4}^{t}$ (**)

Nếu t < 0 thì $4^{t} < 1 \Rightarrow 4^{t} < {(\frac{11^{t} + 4}{3})}^{2} + 1$

Nếu $t \geq 0 \Rightarrow \{\begin{array}{l} 121^{t} \geq 4^{t} \\ {8.11}^{t} \geq {8.4}^{t} \end{array} \Rightarrow 121^{t} - 4^{t} + 8 (11^{t} - 4^{t}) + 25 > 0$ Vậy (**) vô nghiệm.

Với y = 0 thì hệ (*) trở thành $\{\begin{array}{l} 3 x = 11^{t} \\ x^{2} = 4^{t} \end{array} \Rightarrow \frac{121^{t}}{9} = 4^{t} \Leftrightarrow t = \log_{\frac{11}{2}} 3 \Rightarrow x = \frac{11^{\log_{\frac{11}{2}} 3}}{3}$

Với y = 1 thì hệ (*) trở thành $\{\begin{array}{l} 3 x + 4 = 11^{t} \\ x^{2} + 1 = 4^{t} \end{array} \Rightarrow {(\frac{11^{t} - 4}{3})}^{2} + 1 = 4^{t} \Leftrightarrow 121^{t} - {8.11}^{t} + 25 = {9.4}^{'}$

Xét hàm số $f (t) = 121^{t} - {8.11}^{t} + 25 - {9.4}^{t}$ , liên tục trên $[\frac{1}{2}; 1]$ có $f (\frac{1}{2}) f (1) < 0$ nên phương trình f(t) = 0 luôn có nghiệm thuộc đoạn $[\frac{1}{2}; 1]$ . Khi đó hiển nhiên sẽ tồn tại x thỏa mãn.

Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là y = 0, y = 1

Bình luận

Câu 1:

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000đ. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Xem đáp án » 11/07/2024 65,465

Câu 2:

Theo đoạn trích, thành ngữ “gừng cay muối mặn” mang ý nghĩa gì?

A. Sự từng trải, chắc chắn trong suy nghĩ và ứng xử

B. Những khó khăn, vất vả trong cuộc sống

C. Những mất mát mà con người phải chịu đựng

D. Tình nghĩa vợ chồng mặn mà, sâu đậm

Xem đáp án » 14/08/2023 7,999

Câu 3:

Tập nghiệm của bất phương trình $\ln x^{2} < 2 \ln (4 x + 4)$ là

A. $(- \frac{4}{5}; + \infty)$

B. $(- 1; + \infty) \ {0}$

C. $(- \frac{4}{5}; + \infty) \ {0}$

D. $(- \frac{4}{3}; + \infty) \ {0}$

Xem đáp án » 13/08/2023 7,926

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ và $M (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \in (S)$ sao cho $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0}$ đạt giá trị nhó nhất. Khi đó $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng

A. 2

B. -1

C. -2

D. 1

Xem đáp án » 14/08/2023 4,156

Câu 5:

Một ô tô đang đi với vận tốc 60km/h thì tăng tốc với gia tốc $a (t) = 2 + 6 t (km / h^{2})$ . Tính quãng đường ô tô đi được trong vòng 1h kể từ khi tăng tốc.

A. 26 km.

B. 62 km.

C. 60 km.

D. 63 km.

Xem đáp án » 13/08/2023 3,765

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z - 8 = 0 và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 - 3 t \\ y = - 1 - 4 t \\ z = 5 - 5 t \end{cases}$ . Côsin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là

Xem đáp án » 11/07/2024 3,752

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A(1;0;0), B(0;-2;0) và C(0;0;4)

A. (S):

x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2 y + 4 z = 0

B. (S):

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 8 z = 0

C.

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - x + 2 y - 4 z = 0

D. (S):

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 8 z = 0

Xem đáp án » 14/08/2023 3,683

Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn $\log_{11} (3 x + 4 y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2})$ ?

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Bình luận

Theo đoạn trích, thành ngữ “gừng cay muối mặn” mang ý nghĩa gì?

Tập nghiệm của bất phương trình $\ln x^{2} < 2 \ln (4 x + 4)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ và $M (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \in (S)$ sao cho $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0}$ đạt giá trị nhó nhất. Khi đó $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng

Một ô tô đang đi với vận tốc 60km/h thì tăng tốc với gia tốc $a (t) = 2 + 6 t (km / h^{2})$ . Tính quãng đường ô tô đi được trong vòng 1h kể từ khi tăng tốc.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z - 8 = 0 và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 - 3 t \\ y = - 1 - 4 t \\ z = 5 - 5 t \end{cases}$ . Côsin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A(1;0;0), B(0;-2;0) và C(0;0;4)

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn log11(3x+4y)=log4x2+y2?

Bình luận

Theo đoạn trích, thành ngữ “gừng cay muối mặn” mang ý nghĩa gì?

Tập nghiệm của bất phương trình lnx2<2ln(4x+4)là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=9 và Mx0;y0;z0∈(S) sao cho A=x0+2y0+2z0 đạt giá trị nhó nhất. Khi đó x0+y0+z0 bằng

Một ô tô đang đi với vận tốc 60km/h thì tăng tốc với gia tốc a(t)=2+6tkm/h2. Tính quãng đường ô tô đi được trong vòng 1h kể từ khi tăng tốc.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z - 8 = 0 và đường thẳng d:x=2−3ty=−1−4tz=5−5t. Côsin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A(1;0;0), B(0;-2;0) và C(0;0;4)

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn $\log_{11} (3 x + 4 y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2})$ ?

Tập nghiệm của bất phương trình $\ln x^{2} < 2 \ln (4 x + 4)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ và $M (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \in (S)$ sao cho $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0}$ đạt giá trị nhó nhất. Khi đó $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng

Một ô tô đang đi với vận tốc 60km/h thì tăng tốc với gia tốc $a (t) = 2 + 6 t (km / h^{2})$ . Tính quãng đường ô tô đi được trong vòng 1h kể từ khi tăng tốc.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z - 8 = 0 và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 - 3 t \\ y = - 1 - 4 t \\ z = 5 - 5 t \end{cases}$ . Côsin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là