Câu hỏi:

15/08/2023 185

Cho tam giác ABC. I nằm trên BC cho 2CI = 3BI. J nằm trên đường thẳng BC cho 5JB = 2JC. G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Biểu diễn $\vec{A B}, \vec{A C}$ theo 2 vectơ $\vec{A I}, \vec{A J}$ và biểu diễn $\vec{A J}$ qua $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b)Tính $\vec{A G}$ theo $\vec{A I}, \vec{A J}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) I là điểm trên cạnh BC mà: 2CI = 3BI. Suy ra: $\frac{B I}{C I} = \frac{2}{3}$

⇒ $\frac{B I}{C I + B I} = \frac{2}{3 + 2} = \frac{2}{5}$ ⇒ $\frac{B I}{B C} = \frac{2}{5}$

⇒ $B I = \frac{2}{5} B C$ tương tự $C I = \frac{3}{5} B C$

J là điểm nằm trên BC kéo dài: 5JB = 2JC ⇒ $\frac{J B}{J C} = \frac{2}{5}$

⇒ $\frac{J B}{J C - J B} = \frac{2}{5 - 2} = \frac{2}{3}$ ⇒ $\frac{J B}{B C} = \frac{2}{3}$

⇒ $J B = \frac{2}{3} B C$ và $B C = \frac{3}{3} J C$

$\vec{A B} = \vec{A I} + \vec{I B} = \vec{A I} - \frac{2}{5} \vec{B C} = \vec{A I} - \frac{2}{5} . \frac{3}{2} \vec{J B} = \vec{A I} - \frac{3}{5} \vec{J B} = \vec{A I} - \frac{3}{5} (\vec{J A} + \vec{A B}) = \vec{A I} + \frac{3}{5} \vec{A J} - \frac{3}{5} \vec{A B}$

⇒ $\vec{A B} + \frac{3}{5} \vec{A B} = \vec{A I} + \frac{3}{5} \vec{A J}$

⇒ $\vec{A B} = \frac{5}{8} \vec{A I} + \frac{3}{8} \vec{A J}$

$\vec{A C} = \vec{A I} + \vec{I C} = \vec{A I} + \frac{3}{5} \vec{B C} = \vec{A I} + \frac{3}{5} . \frac{3}{5} . \vec{J C} = \vec{A I} + \frac{9}{25} (\vec{J A} + \vec{A C})$

⇒ $\vec{A C} - \frac{9}{25} \vec{A C} = \vec{A I} + \frac{9}{25} \vec{J A}$

⇒ $\vec{A C} = \frac{25}{16} \vec{A I} - \frac{9}{16} \vec{A J}$

b) Lấy K là đối xứng của A qua H

Ta có: AK và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là H. Do đó ABKC là hình bình hành

Vì G là trọng tâm nên: $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A H} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} . (\vec{A B} + \vec{A C})$ (sử dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABKC, H là trung điểm của BC)

$\vec{A G} = \frac{1}{3} . (\vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{1}{3} . (\frac{5}{8} . \vec{A I} + \frac{3}{8} \vec{A J} + \frac{25}{16} \vec{A I} - \frac{9}{16} \vec{A J}) = \frac{35}{48} \vec{A I} - \frac{1}{16} \vec{A J}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3